一、填空习题(将正确答案的序号填在括号内，本题15分，每题3分)
1、总体的容量分别为10，15的两样本均值差________；
2、设为取自总体的一个样本，若已知,则=________；
3、设总体，若和均未知，为样本容量，总体均值的置信水平为的置信区间为，则的值为________；
4、设为取自总体的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于检验的拒绝域为2≤，则相应的备择假设为________；
5、设总体，已知，在显著性水平0.05下，检验假设,，拒绝域是________。
1、； 2、0.01； 3、； 4、； 5、。
二、选择题(将正确答案的序号填在括号内，本题15分，每题3分)
1、设是取自总体的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
2、设为取自总体的样本，为样本均值，，则服从自由度为的分布的统计量为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
3、设是来自总体的样本，存在， ,
则（ ）。
（A）是的矩估计 （B）是的极大似然估计
（C）是的无偏估计和相合估计 （D）作为的估计其优良性与分布有关
4、设总体相互，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验的拒绝域为（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
5、设总体，已知，未知，是来自总体的样本观察值，已知的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平时，检验假设的结果是（ ）。
（A）不能确定 （B）接受 （C）拒绝 （D）条件不足无法检验
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
三、（本题14分）
设随机变量X的概率密度为：，其中未知
参数，是来自的样本，求（1）的矩估计；（2）的极大似然估计。
解：(1) ，
令，得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为：，
而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。
四、（本题14分）设总体，且是样本观察值，样本方差，
（1）求的置信水平为0.95的置信区间；（2）已知，求的置信水平为0.95的置信区间；（，）。
解：
（1）的置信水平为0.95的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；
（2）=；
由于是的单调减少函数，置信区间为，
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体服从参数为的指数分布，其中未知，为取自总体的样本， 若已知，求：
（1）的置信水平为的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。。
解：(1)
即的单侧置信下限为；（2）。
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L），标准差为1.2（mg/L），问该工厂生产是否正常？（）
解：
（1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1； 取统计量：；
拒绝域为：2≤=2.70或2≥=19.023，
经计算：，由于2，
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。
（2）检验假设； 取统计量：~ ；
拒绝域为；<2.2622 ，所以接受，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设为取自总体的样本，对假设检验问题，（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；（2）若=6，求上述检验所犯的第二类错误的概率。
解：(1) 拒绝域为;
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受的概率为
。
八、（本题8分）设随机变量服从自由度为的分布，(1)证明：随机变量服从
自由度为的分布；(2)若，且，求的值。
证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互，所以。
当时，与服从自由度为的分布，故有，
从而 。
数理统计试卷参
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、； 2、0.01； 3、； 4、； 5、。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B.
三、（本题14分）解：(1) ，
令，得为参数的矩估计量。
(2)似然函数为：，
而是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为。
四、（本题14分）解：
（1）的置信水平为0.95的置信区间为，即为（0.9462，6.6667）；
（2）=；
由于是的单调减少函数，置信区间为，
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）解：(1)
即的单侧置信下限为；（2）。
六、（本题14分）解：
（1）检验假设H0：2=1，H1：2≠1； 取统计量：；
拒绝域为：2≤=2.70或2≥=19.023，
经计算：，由于2，
故接受H0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。
（2）检验假设； 取统计量：~ ；
拒绝域为；<2.2622 ，所以接受，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）解：(1) 拒绝域为;
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当=6时，接受的概率为
。
八、（本题8分）
证明：因为,由分布的定义可令，其中，与相互，所以。
当时，与服从自由度为的分布，故有，
从而 。
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