卷I （选择题，共42分）
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．气温由﹣1℃上升2℃后是（ ）
| A． | ﹣1℃ | B． | 1℃ | C． | 2℃ | D． | 3℃ |
| A． | 0.423×107 | B． | 4.23×106 | C． | 42.3×105 | D． | 423×104 |
| A． | B． | C． | D． |
| A． | a（x﹣y）=ax﹣ay | B． | x2+2x+1=x（x+2）+1 | C． | （x+1）（x+3）=x2+4x+3 | D． | x3﹣x=x（x+1）（x﹣1） |
| A． | 3 | B． | ﹣3 | C． | 5 | D． | ﹣5 |
| A． | =±3 | B． | =2 | C． | （﹣2）0=0 | D． | 2﹣1= |
| A． | = | B． | = | C． | = | D． | = |
| A． | 40海里 | B． | 60海里 | C． | 70海里 | D． | 80海里 |
假设嘉嘉抽到牌的点数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y=（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 6 | D． | x+3 |
①常数m＜﹣1；
②在每个象限内，y随x的增大而增大；
③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；
④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．
其中正确的是（ ）
| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ①④ |
| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：
1．以点C为圆心，AB长为半径画弧；
2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3．两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．
乙：
1．连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2．连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
| A． | 两人都对 | B． | 两人都不对 | C． | 甲对，乙不对 | D． | 甲不对，乙对 |
| A． | 90° | B． | 100° | C． | 130° | D． | 180° |
| A． | π | B． | 2π | C． | D． | π |
| A． | 点M在AB上 | |
| B． | 点M在BC的中点处 | |
| C． | 点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 | |
| D． | 点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 |
| A． | B． | C． | D． |
17．如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是 ．
18．若x+y=1，且x≠0，则（x+）÷的值为 ．
19．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= °．
20．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m= ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（9分）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5=2×（2﹣5）+1
=2×（﹣3）+1
=﹣6+1
=﹣5
（1）求（﹣2）⊕3的值；
（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．
22．（10分）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
23．（10分）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
24．（11分）如图，△OAB中，OA=OB=10，∠AOB=80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N．
（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；
（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；
（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．
25．（12分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．
| 次数n | 2 | 1 |
| 速度x | 40 | 60 |
| 指数Q | 420 | 100 |
（2）当x=70，Q=450时，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）
26．（14分）一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．
解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是 CQ∥BE ，BQ的长是 3 dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB）
（3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=，tan37°=）
拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y．分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．
延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3．
2013年河北省中考数学参
一、选择题
1． B；2．B；3．C；4．D；5．A；6．D；7．A；8．D；9．B；10．C；11．B；12．A；13．B；14．D；15．C；16．A；
二、填空题
17．如图，A是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则A与桌面接触的概率是 ．
18．若x+y=1，且x≠0，则（x+）÷的值为 1 ．
19．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 95 °．
20．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m= 2 ．
三、解答题
| 21． | 解：（1）∵a⊕b=a（a﹣b）+1， ∴（﹣2）⊕3=﹣2（﹣2﹣3）+1 =10+1=11； （2）∵3⊕x＜13， ∴3（3﹣x）+1＜13， 9﹣3x+1＜13， ﹣3x＜3， x＞﹣1． 在数轴上表示如下： |
| 22． | 解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3； （2）众数为5，中位数为5； （3）①第二步；②==5.3， 估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）． |
| 23． | 解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b）， 由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t． 当t=3时，b=4， 故y=﹣x+4． （2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时， 2=﹣3+b， 解得：b=5， 5=1+t， 解得t=4． 当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时， 4=﹣4+b， 解得：b=8， 8=1+t， 解得t=7． 故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7． （3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点． 过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2． 已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形， ∴DE=MD=2，OE=OF=1， ∴E（1，0），F（0，﹣1）． ∵M（3，2），F（0，﹣1）， ∴线段MF中点坐标为（，）． 直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2， 2=1+t， 解得t=1． ∵M（3，2），E（1，0）， ∴线段ME中点坐标为（2，1）． 直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3， 3=1+t， 解得t=2． 故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上． |
| 24． | （1）证明：如图1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP， ∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP， ∴∠AOP=∠BOP′， ∵在△AOP和△BOP′中 ∴△AOP≌△BOP′（SAS）， ∴AP=BP′； （2）解：如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H， ∵AT与相切， ∴∠ATO=90°， ∴AT===8， ∵×OA×TH=×AT×OT， 即×10×TH=×8×6， 解得：TH=，即点T到OA的距离为； （3）解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大； 理由：∵OQ⊥OA， ∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大， ∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°， 当Q点在优弧右侧上， ∵OQ⊥OA， ∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大， ∴∠BOQ=∠AOQ﹣∠AOB=90°﹣80°=10°， 综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大． |
| 25． | 解：（1）设W=k1x2+k2nx，则Q=k1x2+k2nx+100， 由表中数据，得， 解得：， ∴Q=﹣x2+6nx+100； （2）将x=70，Q=450代入Q得， 450=﹣702+6×70n+100， 解得：n=2； （3）当n=3时，Q=﹣x2+18x+100=﹣（x﹣90）2+910， ∵﹣＜0， ∴函数图象开口向下，有最大值， 则当x=90时，Q有最大值， 即要使Q最大，x=90； （4）由题意得，420=﹣[40（1﹣m%）]2+6×2（1+m%）×40（1﹣m%）+100， 即2（m%）2﹣m%=0， 解得：m%=或m%=0（舍去）， ∴m=50． |
| 26． | 解：（1）CQ∥BE，BQ==3； （2）V液=×3×4×4=24（dm3）； （3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=， ∴α=∠BCQ=37°． 当容器向左旋转时，如图3，0°≤α≤37°， ∵液体体积不变， ∴（x+y）×4×4=24， ∴y=﹣x+3． 当容器向右旋转时，如图4．同理可得：y=； 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5， 由BB′=4，且PB•BB′×4=24，得PB=3， ∴由tan∠PB′B=，得∠PB′B=37°． ∴α=∠B′PB=53°．此时37°≤α≤53°； 延伸：当α=60°时，如图6所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H． 在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°， ∴HB′=2． ∴MG=BH=4﹣2＜MN． 此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱． ∵S△NFM+SMBB′G=××1+（4﹣2+4）×2=8﹣． ∴V溢出=24﹣4（8﹣）=﹣8＞4（dm3）． ∴溢出液体可以达到4dm3． |
