一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；

注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法

例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ，

d ，

e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通

路的概率是 ．

分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意

两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=

106=5

3

评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法

例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，

两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明

的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）=

31

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法

例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．

分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数

是6的倍数的可能情况。

解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所

以（1）两位数是偶数的概率为

23

．（2）两位数是6的倍数的概率为13．

点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=

n

m

。 3、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一

个发生）。计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P(A )=1－P(A)；

5、事件：（事件A 、B 的发生相互，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) 。提醒：（1）如果事件A 、B ，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是事件；（2）如果事件A 、B 相互，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A 、B 相互，那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A )P(B )。

6、事件重复试验：事件A 在n 次重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．的概率()(1)k

k

n k

n n P k C p p -=-(是二项

展开式[(1)]n p p -+的第k+1项)，其中p 为在一次重复试验中事件A 发生的概率。

提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。 二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x

ξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ξ

1x 2x … i x

…

P

1p 2p … i p …

有性质：① ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ i p p p .

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次重复试验中这个事件恰好发生k 次

的概率是：k

n k k n q

p C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;q

p C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n 次重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为

，那么

.根据相互事件的概率乘法分式：

于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξn

N

k n M

N k M -≤-≤≤≤⋅⋅=

=--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从

N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r

m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k C C C k)P(ξn b

a k

n b

k a =⋅=

=+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含

k

n k k n b

a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)

b a a (1)b a a (

C b)(a b

a C k)P (ηk

n k k n n

k

n k k n =+-+=+==--，即η～)(b

a a n B +⋅

.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ

1x 2x … i x … P

1p

2p

…

i p

…

则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.

⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=

-np q p

k n k n k E k n k

)!(!!

ξ 其分布列为ξ～

),(p n B .（P 为发生ξ的概率）

ξ

0 1 P q

p

⑸几何分布：p

E 1

=

ξ 其分布列为～.（P 为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.

显然，故

为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．

4.方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a 、b 均为常数）

⑵单点分布： 其分布列为

⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布：

5. 期望与方差的关系.

⑴如果

和都存在，则

ξ

0 1 P

q

p

⑵设ξ和是互相的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）

.

四、正态分布.（基本不列入考试范围）

轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且

），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：

.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线

对称.

③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.

⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(2

2

+∞-∞=

- x e

x x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即

ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .

注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如

5.00793.0)5.0( =-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σ

μ

x (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.

4.⑴“3σ”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

▲x

y

a

标准正态分布曲线S 阴=0.5S a =0.5+S

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