1 .简谐振动的受力分析

2 .等效法研究简谐振动

3 .三角函数法描述振动

第一部分：振动的受力特点以及参数

知识点睛

一、模型引入

1．什么是振动？

       振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中．从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动．如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动．

如图：振动演示实验：当振子往复振动时，匀速的拉动纸带，就可以研究振子离开中心位置的位移与时间的关系。

广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动．变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量．例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等． 

2．什么是机械振动？

机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，口语称为“来回晃悠”。如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动．

产生机械振动的条件是：物体受到回复力的作用；

回复力：

使振动物体返回平衡位置的力叫回复力．回复力时刻指向平衡位置．回复力是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力，可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力，可能是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等．

3．简谐运动

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动，叫简谐运动．表达式为：．做简谐运动物体的位移是相对于平衡位置的，位移的方向总是由平衡位置指向物体，而回复力总由物体是指向平衡位置，所以回复力总跟位移方向相反，式中的负号表示了这种相反关系．

4．描述简谐运动的物理量

   ⑴ 位移：由平衡位置指向振子所在处的有向线段，最大值等于振幅；

   ⑵ 振幅：是描述振动强弱的物理量．（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的，而位移是时刻在改变的）

   ⑶ 周期：是描述振动快慢的物理量．频率．

5.简谐振动的图像

   为了研究弹簧振子的运动规律，我们以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴．小球在平衡位置的右边时它对平衡位置的位移为正，在左边时为负．左图所示的弹簧振子的频闪照片．频闪仪每隔闪光一次，闪光的瞬间振子被照亮．拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列的像，相邻两个像之间相隔．右图中的两个坐标轴分别代表时间和小球位移，因此它就是小球在平衡位置附近往复运动时的位移—时间图象，即图象．

简谐运动及其图象

我们对弹簧振子的位移与时间的关系做些深入的研究．从图中可以看出，小球运动时位移与时间的关系很像正弦函数的关系． 

例题精讲

【例1】如图所示，质量为的小球放在劲度为的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，证明其做简谐振动．

【例2】把一个密度小于水的正方体木块放入水中，并用手稍微按入水中一点，证明手释放后木块做简谐振动，不考虑阻力与水面的变化．

【解析】设物体相对飘浮位置位移．

其受合力为相比飘浮时的浮力差． 

【例3】三根长度均为米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架．点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动． 

【解析】如图，松鼠受力如图：由力矩平衡可知：与合力必须过框的C点才能平衡．

即，且

∴为简谐振动．

且．

第二部分  简谐振动参量关系：

知识点睛

由于是变力作用，所以简谐振动的物体运动量与时间的关系很难用初等数学解答，一般的解法是直接解微分方程．

    根据牛顿第二定律：

    可得物体的加速度为： 

    对于给定的弹簧振子，和均为正值常量，令

    则上式可以改写为  或

这是个二阶的微分方程，这里就给出具体解的过程了。这个方程的解为，其中为振幅，为初相，叫相位．

那么周期为：．

当然还有比较巧的办法：如图所示，一质量为的质点在平面内以原点为圆心做匀速圆周运动，该质点在轴上的投影（点）将以为中心在轴上振动，这个振动与圆周运动有什么关系呢？

　  设圆半径为，角速度为，则质点受向心力大小为

设时，半径跟轴方向的夹角为，经时间半径跟轴方向夹角为，则，在任意  

时刻，质点在轴上的位移为

　　向心力在轴上的分量为

　　由以上两式得　

　　令，则

结果表明：做匀速圆周运动的质点在x轴方向上的分运动满足简谐运动条件，所以轴方向的分运动是简谐运动．

上述结论可以通过图所示实验验证，图中是在水平方向做简谐运动的弹簧振子．是在水平面上做匀速圆周运动的球，用水平方向的平行光照射小球和振子，使振子振动的振幅等于小球做圆周运动的半径，使和的运动周期相同，调整好两球开始运动时的位置，可以看到竖直屏上的两个影子运动情况完全相同．

理论和实验都表明，在平面内做匀速圆周运动的质点在轴上的分运动是简谐运动，我们在研究简谐运动时就可以借助于这个圆运动，为了研究简谐运动而引入的圆叫参考圆．参考圆是研究简谐运动的一种方便而有效的方法．

例题精讲

【例4】如图装置左边是系数为的弹簧，右面为的弹簧，物体质量为不考虑轮重，求上下自由振动时周期．

【解析】设相对平衡位置下移时，弹簧相对多伸长，多伸长．

由于： 

几何关系： 

那么

且受的合力

那么

∴

【例5】如图所示，一根轻质弹簧被竖直固定在地面上，将重物在弹簧正上方高处  静止释放，重物自由下落后与弹簧接触，经过时间后被弹簧向上抛出，如将重物在弹簧正上方高处静止释放，重物自由下落后与弹簧接触，经过时间后被弹簧向上抛出，则（    ）

A．                B． 

C．                    D．条件不足，无法确定

【解析】解法1：

参考圆法，如图物体接触弹簧后开始做简谐振动，其在参考圆上的像开始做角速度，恒定的圆周运动．圆半径（即振幅）由物体接触弹簧初速度决定，越大，像从转到对应圆心角越小，时间就越少了．

解法2：

把振动过程分为两段，在平衡位置下方段与上方段，下方段物体下降上升，一个来回时间为半个周期，与位移无关，而上方段两次位移一样，明显在释放，平均速度快，运动时间少．

【答案】A

【例6】如图所示，在两个向相反方向转动的小轴上水平放一块均匀薄木板，木板的质量为，两个小轴的轴心之间距离为，木板与两轴的动摩擦因数都为．木板最初的位置是它的重心偏离中线为的位置．试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运动，并求出它的周期．

【解析】受力分析

，以质心为轴

且

∴，那么

， 

其受合力

，∴．

【例7】两质量分别为2kg与3kg的重物用一弹簧相连，现在把一个放于地面上，另一个用外力F往下按，知道系统静止下来后突然松手，要让下面的重物离开地面，外力至少多大？

【解析】由于简谐振动的合力对称性，系统在最高点合力如刚好等于50N则能离开地面，所以最开始合力一定也为50N向上，所以外力至少为50N。

【例8】一个质点沿轴作简谐运动，振幅，周期，初始时刻质点位于处且向轴正方向运动．求：

⑴ 初相位；

⑵ 在处且向轴负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间．

【解析】⑴ 取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为

依题意，有，，则

在时， 

因而解得  

故振动方程为    

用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故．

⑵时， 

且为第二象限角，故

得，因而速度和加速度为

从处且向向轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从点转到点，因而所需要的最短时间满足

，故  

【例9】如图，一物体质量为在弹性系数为的弹簧约束下放与水平地面，物体与地面间摩擦因数为，把物体往左挤压弹簧，是弹簧相对于原长7厘米后静止释放,求：

⑴ 计算物体的最大速度；

⑵ 物体最后停的位置和整个过程的总时间．

【解析】当弹力时，物体受弹力与阻力每单次振动都是简谐振动，只是平衡位置在、处，如图

第一次向右以为中心位置

最多运动到右．

在， 

第一次向左返回以为中心位．

运动到左停下，依次每次振幅减少，一旦在范围停下则不再启动．

∴最终停在处．

．

第三部分  单摆

知识点睛

生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，我们用细线悬挂着的小球来研究摆动的规律。

如图，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。显然，单摆摆动时摆球在做振动，但它是不是在做简谐运动？

如图，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水。沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸，白纸上的墨迹便画出振动图象（图象）。注射器的摆动是不是简谐运动？

单摆的回复力　

我们在一般条件下研究单摆是不是做简谐运动，最简单的方法是看它的回复力是否满足的条件。

摆球静止在点时，悬线竖直下垂，摆球受到的重力与悬线的拉力平衡。小球受的合力为零，可以保持静止，所以点是单摆的平衡位置。拉开摆球，使它偏离平衡位置，放手后摆球所受的重力与拉力不再平衡。在这两个力的合力的作用下，摆球沿着以平衡位置为中心的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。因为摆球沿圆弧运动，因此可以不考虑沿悬线方向的力，只考虑沿圆弧方向的力。当摆球运动到某点时（如图），摆球在圆弧方向上受到的只是重力在这个方向的分力，这就是它的回复力。

在偏角很小时，摆球对于点的位移的大小，与角所对的弧长、角所对的弦都近似相等，因而，所以单摆的回复力为，其中为摆长，为摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力与位移的方向相反。由于都有确定的数值，可以用一个常数表示，于是上式写成，可见，在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。

单摆的周期 

最早发现单摆具有周期性的是伽利略，后来荷兰物理学家惠更斯通过详尽的研究单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期与摆长的二次方根成正比，与重力加速度的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。惠更斯确定了计算单摆周期的公式： 

这个公式很容易用简谐振动公式推导，这里就不做推导了。

例题精讲

【例10】地面上有一个固定的圆弧形光滑槽，其弧长远远小于圆的曲率半径．槽边缘有一个小球，圆弧最低点正上方高处有一个小球；如图所示，不计空气阻气，若球可视为质点，同时由静止释放，要使它们恰好在圆弧最低点相遇，和应满足什么关系?

【解析1】因为，所以球在圆弧面上的往复运动具有等时性，可等效为单摆，即为等效单摆摆长．设等效单摆摆动的周期为，则球运动到圆弧最低点所用的时间为，而，所以，球做自由落体运动，可知，若球恰在圆弧最低点相遇，应满足，所以

第四部分 简谐振动的拓展（选件）

如本讲最开始所述,广义上，任何一个物理量随着时间作周期性的变化，都可以看成一种振动，要把对简谐振动规律的认识拓展应用出去，需要做两步的工作：

1.振动量的判定

方法主要有两个：

一是分析状态：列出状态方程，如果方程得到类似简谐振动的方程，某个量与关于时间的二阶导数成线性并方向相反，则为简谐量。

二是分析守恒：简谐振动中动能与势能守恒，其中势能正比于位移的平方，动能正比于位移一阶导的平方。如果其他物理量也具备此规律，也是简谐量。

2.方程的类比

此步要做的是找出振动量与简谐振动对应的A，K，m三个参数，写出三角函数的解析式即可。

例题精讲

【例11】把一根均匀的细棒一端挂在天花下，另一端拉起一小角度，细棒就开始在平衡位置附近振动，这个现象叫“复摆”，已知一根质量为m长度为l的细棒以其端点以角速度转动时，动能为

（这个公式学会了积分的同学可以自己推一下，很容易），计算其周期。

【解析2】由能量守恒：且

即：类比

知道周期为： 

【例12】一质点在x轴上x=x0（x0＞0）处平衡，其势能解析式为，其中a，b，c为常数，且a,c已知.

1.求b

2.讨论其为稳定平衡的条件

3.在上问前提下，使质点在平衡点附近离开一个很小的位移，证明其为简谐振动并求周期。

【答案】：1.b=-2ax0

         2,a＞0

     3.守恒方程为代入b=-2ax0得到

类比得周期为

本题也可以用势能推导出恢复力再算

阅读材料

人类计时工具的发展

在古代人类主要利用一些天文现象计时，比如中国古代的日晷，利用太阳的影子变化来计时就是非常巧妙的设计，当然西方还有水漏沙漏之类简陋计时工具的．真正精确的有物理原理支持的计时仪器是在伽利略发现了单摆周期的公式时候发明的，根据这一发现，荷兰科学家惠更斯在1657年将摆用作钟表的调节器，发明了摆钟，钟表的走时精度大大提高．摆钟的缺点是依赖参考系重力加速度的值，于是在德国很准的摆钟运到印度就不准了，而在航行的轮船里误差就更大了．

后来英国物理学家胡克又发现了弹簧振子的周期规律，1677年，惠更斯又试制了游丝的发条钟表．从此，钟表越做越小，携带起来越来越方便．由于参考系惯性力不影响发条钟的周期，所以很快得到了更广泛的运用．

此后利用振动原理计时，使时间的计量发生了突破性的变化，大致经历了机械摆钟、石英钟、原子钟三个历程．老式的挂钟靠摆锤的摆动来计时; 机械手表中的核心部件,是摆轮和游丝,电子表是利用电磁振动的等时性来计时的．

天文台使用的原子钟, 也是利用原子会发生振动的特性制成的．由于原子振动频率特别稳定,因此这种钟十分准确,30万年也相差不到一秒．下载本文