历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)_动视

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

2025-09-24 06:43:08 责编:小OO

点击下载本文 文档为doc格式

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形

〔2021全国2卷文〕8．假设x 1=4π，x 2=4

3π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，那么ω= A ．2 B ．

2 C ．1

D ．

答案：A

〔2021全国2卷文〕11．a ∈〔0，

2〕，2sin2α=cos2α+1，那么sin α=

A ．15

D 答案：B

〔2021全国2卷文〕15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．b sin A +a cos B =0，那么B =___________. 答案：4

3π

〔2021全国1卷文〕15．函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+-的最小值为___________．答案：-4

〔2021全国1卷文〕7．tan255°=〔〕

A ．－2

B ．－

C ．2

D ．答案：D

〔2021全国1卷文〕11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

C c B b A a sin 4sin sin =- ，4

1cos -=A ，那么b

c =〔〕

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

答案：A

〔2021全国3卷理〕

18．〔12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin

sin 2

A C

a b A +=．〔1〕求B ；

〔2〕假设△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围．

〔1〕由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=．因为sin 0A ≠，所以sin

sin 2

A C

B +=．由180A B

C ++=︒，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222

B B B

=．

因为cos 02

B ≠，故1

sin =22B ，因此60B =︒．

〔2〕由题设及〔1〕知△ABC 的面积ABC S ∆=．

由正弦定理得sin sin(120)1

sin sin 2

c A c C a C C ︒-=

==+．由于△ABC 为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒．

由〔1〕知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故1

a <

〔2021全国2卷理〕15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设

6,2,3

b a

c B ===

，那么ABC △的面积为_________．答案：

〔2021全国2卷理〕9．以下函数中，以2

π为周期且在区间(

π，

π)单调递增的是

A ．f (x )=│cos2x │

B ．f (x )=│sin2x │

C ．f (x )=cos│x │

D ．f (x )=sin │x │

答案：A

〔2021全国2卷理〕10．α∈(0，

π)，2sin2α=cos2α+1，那么sin α=

A ．

B 5

C 3

D 5

答案：B

〔2021全国1卷理〕17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

〔1〕求A ；

〔2

2b c +=，求sin C ．

【答案】〔1〕3

A π

=；〔2〕sin 4

C =

【解析】【分析】

〔1〕利用正弦定理化简边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据

()0,A π∈可求得结果；〔2〕利用正弦定理可得

sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】〔1〕()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-

即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=

2221cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈

〔2〕

22a b c +=sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

sin 2sin 2

C C C +=

整理可得：3sin C C =

sin cos 1C C += (()

3sin 31sin C C ∴

解得：sin 4C =

或4

因

sin 2sin 2sin 02B C A C ==-

>所以sin 4

C >

，故sin 4C =.

〔2〕法二：

22a b c +=sin 2sin A B C +=

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3

A π

sin 2sin 2

C C C +=

整理可得：3sin C C =

，即3sin 6C C C π⎛

⎫=-= ⎪⎝

⎭

sin 62C π⎛⎫∴-=

⎪⎝

⎭ 由2(0,

),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,46

C C ππππ-==+

sin sin()46

C ππ

=+= 【点睛】此题考察利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进展化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.

〔2021全国1卷理〕()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间〔

,π〕单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C 【解析】

【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①

正确．当

2x π

π<<时，()2sin f x x =，

它在区间,2π⎛⎫

π ⎪⎝⎭

单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，

()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，

()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：

0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，

()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，应选C ．

〔2021全国3卷文〕11.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设ABC ∆的面

积为222

a b c +-，那么C =( )

A ．

2π B ．3π C ．4π D ．6

π 【答案】C 【解析】2221sin 24ABC

a b c S ab C ∆+-==，而222

cos 2a b c C ab

+-=

故1

2cos 1sin cos 242ab C ab C ab C =

=，4

C π

∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理

〔2021全国3卷文〕()2tan 1tan x

f x x

+的最小正周期为( )

A ．

4π B ．2

C ．π

D ．2π 【答案】C

【解析】()()2222tan tan cos 1sin cos sin 2221tan 1tan cos x x x f x x x x x k x x x ππ⨯⎛⎫

====≠+ ⎪++⎝⎭，22

T π

π=

=(定义域并没有影响到周期) 〔2021全国3卷文〕1

sin 3

α=，那么cos 2α=( )

A ．

B ．79 C ．79- D ．

- 【答案】B

【解析】27

cos212sin 9

αα=-=

〔2021全国2卷理〕15. ，

，那么

__________．

【答案】

【解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为，

，

所以，

因此

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将式求得的函数值代入，从而到达解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值〞，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.〔2021全国2卷理〕10. 假设在是减函数，那么的最大值是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值

详解：因为，

所以由得

因此，从而的最大值为，选A.

点睛：函数的性质：

(1). (2)周期(3)由求对称轴，(4)由

求增区间;

由求减区间.

〔2021全国2卷理〕6. 在中，那么

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为

所以，选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵活转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.

〔2021全国I 卷理〕17．〔12分〕

在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. 〔1〕求cos ADB ∠；

〔2〕假设22DC =，求BC

解：〔1〕在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=∠∠.

由题设知，

52sin 45sin ADB =︒∠，所以2

sin 5

ADB ∠=.

由题设知，90ADB ∠<︒，所以223

cos 1255

ADB ∠=-

=. 〔2〕由题设及〔1〕知，2

cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠

225825225

=+-⨯⨯⨯

25=.

所以5BC =.

〔2021全国I 卷理〕16．函数()2sin sin2f x x x =+，那么()f x 的最小值是_____________．〔2021全国I 卷文〕16．〔5分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．bsinC+csinB=4asinBsinC ，b 2+c 2﹣a 2=8，那么△ABC 的面积为．

【解答】解：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． bsinC+csinB=4asinBsinC ，

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC ，

所以sinA=，

那么A=

由于b2+c2﹣a2=8，

那么：，

①当A=时，

解得：bc=，

所以：．

②当A=时，

解得：bc=﹣〔不合题意〕，舍去．

故：．

故答案为：

〔2021全国I卷文〕11．〔5分〕角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A〔1，a〕，B〔2，b〕，且cos2α=，那么|a﹣b|=〔〕

A．B．C．D．1

【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，

终边上有两点A〔1，a〕，B〔2，b〕，且cos2α=，

∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，

∴|cosα|=，∴|sinα|==，

|tanα|=||=|a﹣b|===．

应选：B．

〔2021全国I卷文〕函数f〔x〕=2cos2x﹣sin2x+2，那么〔〕A ．f 〔x 〕的最小正周期为π，最大值为3

B ．f 〔x 〕的最小正周期为π，最大值为4

C.f 〔x 〕的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f 〔x 〕的最小正周期为2π，最大值为4

【解答】解：函数f 〔x 〕=2cos2x ﹣sin2x+2， =2cos2x ﹣sin2x+2sin2x+2cos2x ， =4cos2x+sin2x ，

=3cos2x+1， =，

，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，应选：B ．

1〔2021全国I 卷9题〕曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭，那么下面结论正确的选项

是〔〕

A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

个单位长度，得到曲线2C

B ．把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线2C

C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

个单位长度，得到曲线2C

D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

个单位长度，得到曲线2C 【答案】D

【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭C y x

首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． πππcos cos sin 222⎛⎫⎛

⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，

即112

πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−

−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛

⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭y x x ．

注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+

x 平移至π

+x ，根据“左加右减〞原那么，“π4+x 〞到“π3+x 〞需加上π12，即再向左平移π

2 〔2021全国I 卷17题〕ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面

积为2

3sin a A

．

〔1〕求sin sin B C ；

〔2〕假设6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．

【解析】此题主要考察三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等根底知识的综合应用.

〔1〕∵ABC △面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

∴

sin 3sin 2

a bc A A = ∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2A B C A =，

由sin 0A ≠得2

sin sin 3B C =.

〔2〕由〔1〕得2sin sin 3B C =，1

cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1

cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈，

∴60A =︒，sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =

⋅，sin sin a

c C A

=⋅ ∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=⋅= ②

由①②得

b c +=

∴3a b c ++=+ABC △周长为3

3. (2021·新课标全国Ⅱ卷理17)17.〔12分〕

ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B

(2)假设6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】此题考察三角恒等变形，解三角形．

【试题分析】在第〔Ⅰ〕中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将

2sin 8)sin(2

B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2

B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2

sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B

，进而求得B cos .在第〔Ⅱ〕中，利用〔Ⅰ〕中结论，利用勾股定理和

面积公式求出a c ac +、，从而求出b ．〔Ⅰ〕【根本解法1】

由题设及2

sin

8sin ,2

B C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）

上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15

cosB=cosB 17

1（舍去），= 【根本解法2】

由题设及2sin

8sin ,2

B B

C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02

sin ≠B ，所以4

12tan

=B ，17152

tan 12tan 1cos 2

=+-=B B

B 〔Ⅱ〕由158cosB sin B 1717==得，故14

a sin 217

ABC S c B ac ∆==

又17

=22

ABC S ac ∆=，则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

a c ac B

ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进展“边转角〞“角转边〞，另外要注意2

,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受教师和学生的欢迎．

4 〔2021全国卷3理〕17．〔12分〕

ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 0A A =，a =，2b =．〔1〕求c ；

〔2〕设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．

【解析】〔1〕由

sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭，

即()π

π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，

∴ππ3A +=，得2π3

A =.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理

得()2

125c +=，故4c =.

〔2〕∵

2,4AC BC AB ===，

由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==

. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，那么cos AC CD C =⋅，得

CD =

由勾股定理

AD =

又2π3A =

，那么2πππ326DAB ∠=-=， 1π

sin 26

ABD

S AD AB =⋅⋅△

5 〔2021全国卷文1〕14 π(0)2

a ∈，,tan α=2，那么π

cos ()4α-=__________。

〔法一〕 0,2πα⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒

=⇒=，

又22sin cos 1αα+=，解得sin 5α=，cos 5

α=，

cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝

⎭．〔法二〕)sin cos (2

)4cos(ααπ

α+=

21cos sin cos 42πααα⎛

⎫∴-=+ ⎪⎝

⎭．又 tan 2

α=

222

sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴=

==++，29cos 410πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，

由0,2πα⎛

⎫

∈ ⎪⎝

⎭

知44

α-

，cos 04πα⎛⎫

∴-

> ⎪⎝

⎭，故cos 410πα⎛

⎫-=

⎪⎝

⎭

6.〔2021全国卷2 文〕 π

()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=，应选C. 【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T πω

(3)由 π

π()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ

2π2π()

k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由

π3π2π2π()22

k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间;

7〔2021全国卷2文〕()2cos sin f x x x =+的最大值为 .

8〔2021全国卷2文〕16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,假设

2cos cos cos bc B a C c A =+,那么B =

【答案】

9〔2021全国卷3文〕 4．4

sin cos 3

αα-=

，那么sin 2α=〔〕 A ．79

B ．29

C ．

D ．

【答案】A

10 〔2021全国卷3文〕6．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6

)的最大值为〔〕

A ．65

B ．1

C ．35

D ．15

【答案】A

【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫

⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭⎣⎦ ，那么：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=

+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为

. 此题选择A 选项. 7．函数y =1+x +

sin x

x 的局部图像大致为〔〕

A B

D ．

C D 【答案】D

1、〔2021全国I 卷12题〕函数ππ

()sin()(0),24

f x x+x ，

ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =

为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π

()1836

，单调，那么ω的最大值为〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5

【答案】B

考点：三角函数的性质

2、〔2021全国I 卷17题〕〔本小题总分值12分〕

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos ).C a B+b A c =

〔I 〕求C ；

〔II 〕假设7,c ABC △=的面积为

，求ABC △的周长．【答案】〔I 〕C 3

=〔II 〕57+

【解析】

试题解析：〔I 〕由及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =，

()2cosCsin sinC A+B =．

故2sin Ccos C sin C =．可得1cos C 2=

，所以C 3

=．

考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式

3、〔2021 全国I 卷2题〕sin20°cos10°-con160°sin10°=

〔A 〕32- 〔B 〕3

〔C 〕12- 〔D 〕12

【答案】D 【解析】

试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1

，应选D.

考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式

4、〔2021 全国I 卷8题〕函数()f x =cos()x ωϕ+的局部图像如下列图，那么()f x 的

单调递减区间为 (A)〔〕,k (b)〔〕,k

(C)〔

〕,k

(D)〔

〕,k

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+4253+42

πωϕπ

ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，

令22,4

k x k k Z π

ππππ<+<+∈，解得124k -

＜x ＜3

k +，k Z ∈，故单调减区间为〔1

k -

，324k +〕，k Z ∈，应选D.

考点：三角函数图像与性质

5、〔2021 全国I 卷16题〕在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，

那么AB 的取值范围是【答案】626+2 【解析】

试题分析：如下列图，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

sin sin BC BE E C =∠∠，即o o

2sin 30sin 75BE =，解得BE 6+2，平移AD ，当D

与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即

o o

sin 30sin 75BF =

，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为〔62-，6+2〕.

考点：正余弦定理；数形结合思想 6. 〔2021全国I 卷8题〕设(0,

)2π

α∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ

+=，那么 A .32

αβ-=

B .22

αβ-=

C .32

αβ+=

D .22

αβ+=

【答案】：Ｂ

【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβ

ααβ

=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫

-==- ⎪⎝⎭

，,02222ππππαβα-<-<<-<

∴2

αβα-=

-，即22

αβ-=

，选B

7、〔2021全国I 卷16题〕,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，那么ABC ∆面积的最大值为 .

【答案】3【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，

即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-

∴2

b c a bc +-=，故2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，∴060A ∠=，∴224b c bc +-= 224b c bc bc =+-≥，∴1

sin 32

ABC S bc A ∆=≤

8、〔2021全国I 卷15题〕设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，那么cosθ=______ 【命题意图】此题主要考察逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(

sin cos )55

x x - 令cos ϕ=

55，25

sin 5

ϕ=-，那么()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+，当x ϕ+=2,2

k k z π

π+

∈，即x =2,2

k k z π

πϕ+

-∈时，()f x 取最大值，此时

θ=2,2

k k z π

πϕ+

-∈，∴cos θ=cos(2)2

k π

πϕ+

-=sin ϕ=25

9、〔2021全国I 卷17题〕〔本小题总分值12分〕

如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°

(1)假设PB=1

，求PA ；

(2)假设∠APB ＝150°，求tan ∠PBA

【命题意图】此题主要考察利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.

【解析】〔Ⅰ〕由得，∠PBC=o

60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得

2PA =o 11323cos3042+

-⨯⨯=74，∴PA=7

；〔Ⅱ〕设∠PBA=

α，由得，PB=sin α，在△PBA 中，由正弦定理得，

o o 3sin sin150sin(30)

α=

-，化简得，3cos 4sin αα=， ∴tan α=

34，∴tan PBA ∠=34

. 10、〔2021全国II 卷7题〕假设将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

个单位长度，那么平移后图象的对称轴为〔A 〕()ππ26k x k =-∈Z 〔B 〕()ππ

k x k =+∈Z 〔C 〕()ππ212Z k x k =

-∈ 〔D 〕()ππ212

Z k x k =+∈ 【解析】B

平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，

令ππ2π+122x k ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26

Z k x k =+∈，

应选B ．

11、〔2021全国II 卷9题〕假设π3

cos 45

α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2α=

〔A 〕

〔B 〕15

〔C 〕1

〔D 〕725

【解析】D

∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ

7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

应选D ．

12、〔2021全国II 卷13题〕ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设4

cos 5A =，

cos 13C =

，1a =，那么b = ．【解析】

2113

∵4cos 5A =，5

cos 13C =，

3sin 5A =

，12

sin 13

C =， ()63

sin sin sin cos cos sin 65

B A

C A C A C =+=+=

，由正弦定理得：

sin sin b a B A =解得21

b =． 13、〔2021 全国II 卷17题〕∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求

∠∠sin sin ;

(Ⅱ) 假设AD =1，DC =

求BD 和AC 的长.

14、〔2021全国II 卷4题〕钝角三角形ABC 的面积是12

，AB=1，2，那么AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1

【答案】B

【KS5U 解析】 ..5,cos 2-4

3π∴ΔABC 4

π.43π,4π∴,2

2sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==

15、〔2021全国II 卷14题〕函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.

【答案】 1

【KS5U 解析】

.1∴.1≤sin φ

sin )φcos(-φcos )φsin()

φcos(φsin 2-φsin )φcos(φcos )φsin()

φcos(φsin 2-)φ2sin()(最大值为x x x x x x x x x f =•+•+=+•++•+=++=

16、〔2021全国II 卷15题〕设θ为第二象限角，假设1tan 42

πθ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭ ，那么sin cos θθ+=_________.

17、〔2021全国II 卷17题〕〔本小题总分值12分〕

△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a=bcosC+csinB 。

〔Ⅰ〕求B ；

〔Ⅱ〕假设b=2，求△ABC 面积的最大值。

18、〔2021全国III 卷5题〕假设3tan 4

α= ，那么2cos 2sin 2αα+=

(A)25 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

【答案】A

【解析】试题分析：由3tan 4

α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以 21612cos 2sin 24252525

αα+=+⨯=，应选A ．考点：1、同角三角函数间的根本关系；2、倍角公式．

19、〔2021全国III 卷8题〕在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,那么cos A

〔A 〔B 〔C 〕1010 〔D 〕31010 【答案】C

【解析】

试题分析：设BC 边上的高线为AD ，那么3BC AD =，所以

AC ，AB =．由余弦定理，知

222222cos

2AB AC BC A AB AC +-===⋅，应选C ．考点：余弦定理．

20、〔2021全国III 卷14题〕函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x

=的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

【答案】3

2π 【解析】

试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π=+=+，sin 2sin()3

y x x x π==-＝

2sin[()]33

x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移3

2π个单位长度得到．下载本文

显示全文

全部频道