［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D变换把模拟信号转变为序列，然后经数字滤波器滤波，再由D/A变换将变换成限带波形，即有
这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。
如果系统的截止角频率是，，等效模拟滤波器的截止频率是多少？
设，截止频率又是多少？
解：对采样数字系统，数字频率与模拟角频率之间满足线性关系。因此，
当时，，
当时， ，
［2］已知模拟滤波器的系统函数为，试用冲激响应不变法将转换为。其中抽样周期为，式中、为常数，且因果稳定。
解：的极点为：，
将部分分式展开：
所以有
通分并化简整理得：
［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽，中心频率，通带最大衰减，，，阻带最小衰减。
解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：
，，
，，
因此，归一化原型低通滤波器的通带频率取1，通带处最小衰减为2dB。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：
，
因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器
利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数
取，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数
由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器
［4］设计数字低通滤波器，要求幅频特性单调下降。3dB截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰减，采样频率，分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计。
解：（1）用冲激响应不变法
1确定数字滤波器指标
，
，
2将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。因为在冲激响应不变法中，，所以，
rad/s，
rad/s，
3求模拟滤波器的系统函数。
(a)计算阶数，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得
取。
(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：
(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器
4将转换成，可以调用MATLAB impinvar 函数直接求出，这样不用求极点以及部分分式展开。
（2）用双线性变换法设计
① 确定数字滤波器指标
，
，
② 满足要求的模拟低通滤波器的指标
3求模拟滤波器的系统函数
(a)计算阶数，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得
取。
(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：
(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器
4用双线性变换法将转换成
［5］设模拟滤波器的系统函数为
(1)
试用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器。
解：（1）
设，用冲激响应不变法设计，则有
设，用双线性变换法设计，则有
（2）
设，用冲激响应不变法设计，则有
设，用双线性变换法设计，则有
［6］如果用、和分别表示一个时域连续线性时不变系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和系统函数，用、和分别表示一个时域离散LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和系统函数，那么，
(1)若，则是否成立？
(2)若，则是否成立？
解：（1）由于，根据线性非移变系统的可加性可以得出系统的阶跃响应为：
如果，则有
（2）因为
同样根据叠加原理可以得出该系统的单位取样响应为
如果，则
［7］用冲激响应不变法设计的数字滤波器在时域模仿了模拟滤波器的的特性。在实际工作中，有时需要数字滤波器模仿模拟滤波器的单位阶跃响应波形。试推导单位阶跃响应不变法的设计公式，并讨论该设计是否保持模拟滤波器的稳定性。
解：阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应，即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔的抽样，使正好等于的抽样值，满足，其中是抽样周期。
设数字滤波器的系统函数为，如果其输入端作用于一个阶跃函数，则其输出端为阶跃响应，因而满足：
将此式两端取z变换可得：
所以
对于模拟滤波器，设其系统函数为，如果输入端作用于一个阶跃函数，则其输出端即为，因而满足，将此式两端取拉普拉斯变换可得。
要满足阶跃响应不变，则应有
将上式取变换即得，将它代入，即得
这就是阶跃响应不变法由模拟滤波系统函数映射成数字系统函数的公式。
下面讨论该设计法的因果稳定性。如果因果稳定，则根据脉冲响应不变法的极点映射关系，由于中的因子引入极点这—极点转换到平面上，形成的极点，的极点均映射在平面单位圆内。但正好有一零点。所以，单位圆上的零、极点对消。从而，因果稳定的用单位阶跃不变法转换成必然因果稳定。
［9］已知模拟滤波器二阶基本节的系统函数为
试用冲激响应不变法证明数字滤波器的系统函数为
解：
于是
按照冲激响应不变条件，可以写出
因此，系统函数
［10］设在处有一个阶极点，则可表示成
式中只有一阶极点，而且在处无极点。
(1)试推导出由计算常系数的公式。
(2)试求出用和表示的冲激响应的表达式。
(3)如果定义为数字滤波器的单位冲激响应。试利用(2)的结果写出系统函数的表达式。
解：（1）已知
则
令，因为在处没有极点，所以可以在周围展开为泰勒级数，
，
将上式与的表达式比较，对于项，得到
对应于项，得到
……
对应于一般项，得到
令，则=
（2）因为是的拉普拉斯变化，所以
（3）因为，所以
［11］抽样数字滤波器组成如图P6-1所示，分别用双线性变换法和冲激响应不变法设计其中的数字滤波器。总体等效模拟滤波器指标参数如下：
(1)输入模拟信号的最高频率；
(2)选用巴特沃斯滤波器，3dB截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰减。
解：为了满足采样定理，减少冲激响应不变法引入的频率混叠失真，并降低对恢复滤波器的要求，取采样频率。
（1）用双线性变换法
a) 确定数字滤波器的性能指标
通带边界频率：
通带最大衰减：
阻带截止频率：
通带最大衰减：
b) 进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器性能指标
，
，
c) 设计相应的模拟滤波器，确定系统函数
根据设计指标，，，解得
取，查表得到3阶Butterworth归一化低通原型系统函数
归一化得
d) 用双线性变换法将Ha(s)映射成数字滤波器系统函数H(z)
（2）用冲激响应不变法
a)设计等效模拟滤波器
根据3dB截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰减计算阶数
取，查表得到6阶Butterworth归一化低通原型系统函数
以3dB截止频率去归一化得模拟滤波器系统函数
b)调用MATLAB函数impivar，将 转换成
［12］设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减；阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化系统函数以及实际的。
解：（1）求阶数
取
（2）求归一化系统函数
由阶数查表得到4阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数
（3）由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数
由于，所以，因此
［13］设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减。阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归一化系统函数以及实际的。
解：（1）归一化低通滤波器的性能指标。已知模拟高通滤波器的性能指标：
，
，
因此，归一化原型低通滤波器的技术指标为：
，
，
（2）归一化模拟低通滤波器的系统函数
a) 求阶数，题目要求采用Butterworth类型，故
取，查表得归一化的模拟低通传递函数：
因此，将带入上式得到实际高通滤波器的系统函数，即
式中。
［14］设表示一模拟滤波器的单位冲激响应，
用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器(用表示单位冲激响应，即)。确定系统函数，并将作为参数，证明：对为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。
解：
若，则
若存在，则该系统只有一个极点，且其值为，因为，永远小于1，也就是说该系统的极点在单位圆内，则此系统无论取何值时，总是一个稳定系统。
该数字滤波器近似为低通滤波器。且越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好。反之，越大，极点离单位圆越远，附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。
［15］假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面那种情况？并说明原因。
(1)（低通） （高通） (3)除0或以外的某一频率（带通）
解：只要找出对应于的数字频率即可。
由，以，代入该式得：
因此，频率点的对应关系为
平面 平面
即将模拟低通中心频率映射到处，所以是高通。
［16］设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于时，允许幅度误差在之内；频率在到之间的阻带衰减大于。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔。
解：(1) 根据题意，数字滤波器的性能指标为：
通带频率，通带最小衰减。
阻带频率，阻带最大衰减。
（2）模拟低通滤波器的性能指标为（采样周期）
通带频率，通带最小衰减。
阻带频率，阻带最大衰减。
（3）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数
先求滤波器的阶数及截止频率，巴特沃斯滤波器的阶数：
将性能指标代入可求得，取整数。
根据阶数，查表得到归一化系统函数为：
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得截止频率。
将代入到中，得到实际的模拟滤波器的系统函数
(4) 将展开成部分分式然后利用冲激响应不变法式得到
［17］要求同题16一样，试采用双线性变换法设计数字低通滤波器。
解：(1) 先做预畸变
模拟低通的技术指标为（采样周期T=1ms）
通带频率，通带最小衰减；
阻带频率，阻带最大衰减。
（2）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数
先求滤波器的阶数及截止频率，巴特沃斯滤波器的阶数：
将性能指标代入可求得。
根据阶数，查表得到归一化传输函数为：
（3）去归一化，求出
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得截止频率。
（4）利用双线性变换法得到
［18］设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率，通带衰减不大于，阻带截止频率，阻带衰减不小于。希望采用巴特沃斯型滤波器。
解：（1）数字高通滤波器的性能指标如下
，
，
（2）模拟高通滤波器的性能指标如下：
令，则有
，
（3）归一化模拟低通滤波器的技术指标如下：
，
（4）设计归一化模拟低通滤波器
模拟滤波器的阶数计算如下：
取，查表得归一化的模拟低通传递函数：
（5）去归一化，将带入上式得到实际高通滤波器的系统函数
（6）用双线性变换将模拟高通滤波器转换成数字高通
［19］设计一个数字带通滤波器，通带范围为到，通带内最大衰减为， 以下和以上为阻带，阻带内最小衰减为，采用巴特沃斯模拟低通滤波器。
解：（1）确定数字带通滤波器的性能指标：
， ，
，，
（2）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。设
，，
，，
，
（3）利用频率变换关系，求出归一化原型低通滤波器的性能指标
对应于带通滤波器，归一化原型低通滤波器的相应通带频率分别为：
因此，取归一化原型低通滤波器的通带频率为1，通带处最但衰减为。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：
因此，取归一化原型低通滤波器的阻带频率，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最小衰减为15dB。
（4）利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器。求得巴特沃斯低通滤波器阶数，即：
因此，取，截止频率(在3dB处)就是通带频率的值，即。查表可得的归一化巴特沃斯原型低通的滤波器的系统函数：
（5）由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器。将平面变换关系代入上式得到实际模拟带通滤波器的系统函数
（6）实际模拟带通滤波器的数字化。利用双线性变换式代入得数字滤波器的系统函数，即：
［20］如图6P-2所示的系统。
(1) 写出该系统的系统函数，画出系统的幅频特性，并问这一系统是哪一种通带滤波器？
(2) 在上述系统中，用下列差分方程表示的网络代替它的延时单元
试问变换后的数字网络是那一种通带滤波器。是常数。
解：（1）根据系统结构图可得系统的传递函数为：
系统的频率特性如图1所示，由图可知，该系统是一个高通滤波器。
图1 习题20系统的幅频和相频特性曲线图
(2) 因为给出的差分方程为：
故，将代入，
的两个零点为，因此，为了使系统因果稳定，两个极点必位于单位圆内。
系统的频率响应为
因此，当时，
所以，变换后的数字网络是带通滤波器。
［21］需设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，给定指标为
(1)衰减，当
(2)波纹，当
(3)抽样频率
试用双线性变换法进行设计，最后写出H(z)的表达式，并画出系统的幅度响应特性。
解：（1）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。由于采用双线性变换法，则频率要进行预畸变。
，
预畸变后的高通滤波器的通带频率和阻带频率分别为：
，
(2) 利用频率变换关系，可求出归一化原型低通滤波器的通带频率和阻带频率分别为
，
通带处最小衰减为，阻带处最大衰减为。
(3)利用巴特沃斯滤波器设计方法，设计原型归一化低通滤波器。
求得巴特沃斯低通滤波器的阶次，即：
因此，取，截止频率(在处)。归一化原型低通的滤波器的系统函数
求得实际高通滤波器的系统函数
(4) 利用，求得数字滤波器的系统函数为
系统的频率响应特性如图2所示。
图2 习题21系统频率响应图下载本文
