------知识讲座
我们的教学实践表明：中小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求，使我们更进一步地认识到数学思想的重要性，因此，小学教学的教学过程中，数学思想的渗透是至关重要的。
一、小学数学思想方法的内涵：
1数学思想。所谓数学思想是指人们从某些具体数学内容和对数学的认识过程中抽象概括出来的，对数学知识内容的本质认识，对所使用的方法和规律的理性认识。
它具有普遍的指导意义和相对稳定的特征，是研究数学理论和运用数学解决实际问题的指导思想。
数学思想是数学的灵魂，是数学内容和数学方法的升华与结晶。它支配着数学的实践活动。
2.数学方法。所谓数学方法是指解决数学具体问题时所采用的方式、途径、程序和手段。数学方法具有过程性、层次性和可操作性等特点。
数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，两者往往结合在一起，习惯上把它们称为数学思想方法。
3.小学数学思想方法。小学数学思想方法是指对小学数学知识有本质的认识，从方的角度来研究掌握小学数学中分析问题、思考问题的方法。它是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍的适用的方法。
在小学数学教育教学中有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法能使学生领悟数学的真谛，懂得数学 的价值，学会数学 地思考和解决问题，能把知识 的学习与培养能力。发展智力、发展智力有机地统一起来，且它本身也蕴涵了情感素养的熏染，这也正是新课程标准充分强调的。
二、小学数学教学主要渗透的数学思想
1.集合思想。
包括并集思想、 交集思想、 差集思想、 空集思想
（ 加 法 ） （ 公约数 ） （减法 ） （0的认识）
2.对应思想。
对应思想是指人的思想对两个集合元素之间联系的把握。许多具体的数学思想来源于对应思想。对应思想主要体现在：数形结合思想、函数思想、变换思想。
（1）数形结合的思想。在小学数学中的主要体现在：
ａ.利用图形的“一一配对”来理解数学概念。
ｂ.利用“数”与“形”的对应，让学生理解数与式的概念。
ｃ.用“数轴”渗透数集与直线上的点集对应的思想。（自然数集Ｎ与数轴上的对应的点组成的集合）
ｄ.通过数形对应，分析应用题。
（如：用线段图分析数量关系）
（2）函数思想。
ａ.函数概念的渗透。小学数学教材从低年段开始，如一个加数不变时，“和”随“另一个加数”变化，也是找出其对应关系。正反比例这部分内容更是集中渗透了函数概念。教师处理这部分教材时，应通过画图、列表等直观形式，引导学生通过观察、归纳发现出两个量的“变化”，突出“两种相关的量”之间的对应关系。
ｂ.函数表示法的渗透。
小学数学中几何图形的周长，面积和体积公式，实际上就是用解析法来表示 变量之间关系的函数关系式。如：圆面积公式ｓ＝πｒ2 ，圆面积随着半径的变化而变化。
（3）变换思想。
变换思想在学数学教学中通过运算中的恒等变换，几何图形的平移、旋转、对称等变换渗透了变换思想。
3.符号化思想。
用符号化的语言（字母数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程。
用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。
在数学中各种量的关系，量的变化以及呈与量之间进行推导和演算，进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律（ａ+ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ+ｂ×ｃ；又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题可以用书写简便的字母ａ、ｂ、ｃ分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化如下符号形式：ａａａｂｂｃ ａａａｂｂｃ ａａａｂｂｃ……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。具体体现。
4．等量代换思想
等量代换思想是指用一种量（或来一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。
等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性：如果ａ＝ｂ ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ。
5．化归思想.
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
6. 类比思想
类比思想数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”
如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习
又如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷3
7. 分类思想
分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构
8. 统计思想
统计思想主要体现在把握数据的能力，养成会用数据“说事”，收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题，在这个过程中，形成对数据的敏感，养成会用数据“说事”的习惯。在小学数学中增加统计与概率课程的意义在于形成合理解读数据的能力、提高科学认识客观世界的能力、发展在现实情境中解决实际问题的能力。统计与概率初步知识的构成主要有如下一些基本内容：第一，知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；第二，学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力；第三，会解读和制作一些简单的统计图表；第四，认识一些随机现象，并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性。
9. 极限思想
事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。
教学“圆的面积和周长”中，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式，还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。
战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”充满了极限思想。古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他首先作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长。刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出了π，即“徽率”。
现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透:在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学 1 ÷ 3 = 0。333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。
10. 模型化思想
是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。
培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型。所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。按广义的解释，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型 。但按狭义的解释，只有那些反应特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。比如根据具体问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解。
如：20个同学，每两人握一次手，求握手的次数。又如，打乒乓球的次数问题可以通过建模成组合的问题等。
11. 化归思想
化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。一般是指不可逆向的“变换”。它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等。如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简单图形，然后计算出各部分面积的和或差，均能使学生体会化归法的本质。
12. 转换思想
转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换。在解决数学问题时,转换是一种非常有用的策略。 对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论;转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步,第二步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答。如果采用等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步。
如计算：2.8÷113÷17÷0.7，直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：28/10×3/4×7/1×10/7，这样，利用约分就能很快获得本题的解。
再如：某班上午缺席人数是出席人数的1/7，下午因有1人请病假，故缺席人数是出席人数的1/6。问此班有多少人？此题因上下午出席人数起了变化，解题遇到了困难。如将上午缺席人数转换成是全班人数的1/7 1=1/8，下午缺席人数是全班人数的1/6 1=1/7，这样，很快发现其本质关系：1/7与1/8的差是由于缺席1人造成的，故全班人数为：1÷（1/7-1/8）=56（人）。
13.系统思想
系统思想是由若干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体。系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，以得出研究和解决问题的最佳方案。
系统是由相互联系，相互依赖，相互制约和相互作用的若干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有机整体，如果一个要素发生变化，其他要素也会相应变化。
例如：应用题教学中的“购物问题”。物品的“单价”、“数量”和“总价”这三个要素就组成了一个系统。数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增加，数量变多。“单价、数量、总价”这三个要素之间具有下列关系：
单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量= 单价
把几个概念通过联系来整体把握，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌握概念及其相互关系。这些要素不是孤立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教学过程中要引导学生学会理解概念，找到联系，发现规律，只有这样才能更好地掌握所学知识，做到融会贯通，事半功倍。
三、几点说明
中国数学科学方研究交流中心主任周春荔教授在其习作中说：
习惯上人们常用数学思想来指称某些具有重要意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。
数学思想和数学方法到底有什么区别？一般来说，数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，而数学方法则是解决数学问题的手段，具有“行为规则”的意义和一定的可操作性，同一个数学成果，当用它去解决别的问题时，就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，则称之为思想。
