注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
21．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．
(1)求证：AC⊥DE；
(2)已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
22．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，依次是的中点.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
23．如图，四棱锥中，，，，平面⊥平面，是线段上一点，，．
（1）证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
24．（13分）（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
25．已知抛物线：的准线与轴交于点，为抛物线的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
26．设抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（1）若∠BFD=90°,△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
27．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
28．己知抛物线的顶点M到直线(t为参数)的距离为1
（1）求m；
（2）若直线与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求的值．
29．如图，过点的两直线与抛物线相切于A、B两点， AD、BC垂直于直线，垂足分别为D、C．
（1）若，求矩形ABCD面积；
（2）若，求矩形ABCD面积的最大值.
参
21．（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）利用线面垂直的性质推得线线垂直：（2）建立空间坐标系，利用二面角APBD的余弦值为，求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.
规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离问题以及开放性问题，要注意利用空间直角坐标系进行求解.
试题解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，
∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.
(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．
由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据,
得，令y＝1，得平面PAB的一个法向量为
∵二面角APBD的余弦值为，
则|cos〈n1，n2〉|＝，即
＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，
∴P(0，－，2)．
设EC与平面PAB所成的角为θ，
∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，
则sin θ＝|cos〈，n2〉|＝，
∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.
考点：1.线线垂直的判定；2.空间向量在立体几何中的应用.
22．（1）∵平面,底面是矩形，
∴平面，∴.∵是的中点， ∴,∵,∴；（2）直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】
试题分析：（1）要证明直线，即证明直线与平面的两条相交的直线垂直，即证明和即可；（2）由题意知平面，取中点，中点，联结，则确定直线与平面所成的角即为，在中，易求出直线与平面所成角的正弦值.
试题解析：（1）∵平面,底面是矩形
∴平面 ∴
∵是的中点 ∴
∵ ∴
（2）∵平面，∴，
又,∴平面，
取中点，中点，联结，
则且，
∴是平行四边形，∴
∴即为直线与平面所成的角.
在中，， ，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
考点：线面垂直；直线与平面所成的角.
23．（1）证明详见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】
试题分析：（1）要证⊥平面，只须证明与平面内的两条相交直线垂直即可，对于的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于的证明，这需要在平面的直角梯形中根据及得出，进而可得出，问题得以证明；（2）分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面的法向量，由确定该法向量的一个坐标，进而根据线面角的向量计算公式即可得出直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：由已知条件可知：在中，，所以
在中，，所以
所以……①
又因平面⊥平面，面……②
由①②及可得⊥平面
（2）如图分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系
则，,,
所以，
设平面的法向量，则有：
即，取，则
设直线直线与平面所成角为，有
所以直线与平面所成角的正弦值为.
考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量在解决空间角中的应用.
24．（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点．结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PB∥MO，从而可证
（II）由∠ADC=45°，且AD=AC=1，易得AD⊥AC，PO⊥AD，根据线面垂直的判定定理可证
（III）取DO中点N，由PO⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD，从而可得∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△ANM中求解即可
解：（I）证明：连接BD，MO
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，
所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO
因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM
所以PB∥平面ACM
（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC
又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC
（III）解：取DO中点N，连接MN，AN
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，，所以，
∴，
在Rt△ANM中，==
即直线AM与平面ABCD所成的正切值为
点评：本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力．
25．（1） （2）存在，其范围为
【解析】
试题分析:（1） 记A点到准线距离为，直线的倾斜角为，
由抛物线的定义知，
∴，
∴
（2）设，，
由得，
由得且
，同理
由得，
即：，
∴，
，得且，
由且得，
的取值范围为
考点:抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线的位置关系
26．（1），圆F的方程为；
（2）坐标原点到m，n距离的比值为3.
【解析】（1）由已知可得为等腰直角三角形，，圆的半径
由抛物线定义可知到的距离
因为的面积为，所以，即，
解得（舍去），，所以，圆的方程为.
（2）因为三点在同一直线上，所以为圆的直径，，
由抛物线定义知，所以，的斜率为或
当的斜率为时，由已知可设，代入得，由于与只有一个公共点，故，解得，因为的截距，所以坐标原点到距离的比值为3.
当的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到距离的比值为3.
27．（1）；（2），存在点满足题意
【解析】
解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且
故所求方程为即
（2）假设存在点M符合题意，设AB：代入得：
则
要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。
28．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）将直线的参数方程化为普通方程为，利用点到直线的距离公式可求．（2）将直线的参数方程化为标准参数方程为，将直线的标准参数方程与抛物线方程联立，则表示点A，B到点的距离，又顶点M到直线的距离，则，利用韦达定理求解．
试题解析：（1）M(0，m),直线l的一般方程
M到直线的距离为，解得或 4分
(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故．
将直线l的一个标准参数方程为代入抛物线得，故
故,= 10分
考点：1、直线的参数方程；2、点到直线的距离公式．
29．`（1）14；（2）.
【解析】
试题分析：（1） 设切点为 ,利用导数的几何意义求出切点坐标，从而求出矩形ABCD的边长.
（2） 设切点为 ,利用导数的几何意义求出切点坐标, 从而求出矩形ABCD的边长,将矩形ABCD的面积S表示成的函数，最后利用导数判断此函数的单调性进而确定其最值.
试题解析：解：（1）当时，设切点为，则，
因为，所以切线方程为，即
因为切线过点，所以，即，于是.
将代入得.
所以，所以矩形面积为.
（2）设切点为，则，因为，所以切线方程为，即
因为切线过点，所以，即，于是.
将代入得.
（若设切线方程为，代入抛物线方程后由得到切点坐标，亦予认可.）
所以，所以矩形面积为，
所以当时，；当时，；故当时，S有最大值为
考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用.下载本文
