一、教学目标：掌握解决有关椭圆的中点弦问题的多种方法

学会解题方法的迁移

了解设而不求的数学思想

二、教学重点：掌握解决有关椭圆的中点弦问题的多种方法

三、教学难点：掌握解决有关椭圆的中点弦问题的多种方法

四、教学过程

1、引入过程

圆锥曲线是高考的重点，也是一个难点。每年的高考中都占有20-40分，必有一道解答题。而椭圆又是圆锥曲线中的十分重要的一部分，并且很多双曲线和抛物线的问题都可以借用解决椭圆问题的方法来解决。所以学习好了椭圆就相当于学好了圆锥曲线的一大半。而有关椭圆的中点弦问题又是椭圆中十分重要、典型的问题。

有关椭圆的中点弦问题中在考试中一般以三种类型的题目出现：

（1）求弦所在的直线方程；（2）求弦的中点的轨迹方程；（3）求弦的中点坐标。那么今天这节课我们主要来学习一下弦所在的直线方程的求法。

2、例题讲解

例1 已知直线L和椭圆相交于A,B两点，为A,B的中点，求直线L的方程。

解：方法一：代入法

设两点坐标为，

（1）当直线L斜率不存在时，显然不符合题意。

（2）直线L斜率存在，设为k，则直线方程为：

将直线带入椭圆方程得：

所以所求直线为：

分析：这种方法是运用方程的思想，直线与椭圆的交点也就是直线方程与椭圆方程的方程组的解。但是在解题中并没有把交点直接求出来，而是运用了韦达定理得到用k所表示的两根之和。这里把A,B的坐标设出来而没有求，也是设而不求的思想。

方法二：点差法

设两点坐标为，

两式作差得：

变形可得：

所以所求直线为：

分析：这种方法利用了作差变形，直接得到了直线的斜率，对于解题十分方便。这里也没有求出点的坐标，也体现了设而不求的思想。

方法三：作差法

设两点坐标分别为：

两式作差得：

分析：作差后直接得到一个关于x与y的方程，因为x与y就是直线上的点，所以这个方程就是所求的直线方程。

总结：

运用第一种方法解题时，思路比较简单清楚，就是为了得到两根之和的表达式，但是需要列出方程组后把直线方程带入椭圆方程，计算量比较大。这种思路是解决圆锥曲线问题的一种最基础、最通用、最重要的方法。

第二种点差法比第一种简单方便，主要是用来解决中点弦问题的。它不仅可以用来求中点弦的直线方程问题，也可以求中点弦中点的轨迹方程以及求中点坐标。

第三种方法是专门针对求直线方程的，它是一种很特殊的方法，对于这类求直线方程的问题能够快速而精确的解决。

前面两种方法体现了数学中的设而不求的思想，这种思想在解决圆锥曲线的问题中经常使用。

这些方法不仅可以解决椭圆的中点弦问题，对于双曲线与抛物线也可以使用，但是有时候也要注意他们自身的一些特性。

练习：已知直线L与双曲线相交于A,B两点，为A,B的中点，求直线L的方程。

五、课堂小结

今天我们学习了有关椭圆中点弦中求弦所在直线方程的问题的三种解法，特别是点差法，它是解决有关椭圆中点弦问题的一种十分通用且方便的方法。

当我们在平时遇到问题时，我们一定要多思考，尽量一题多解。只有在平时解题的时候运用多种方法，那么我们在考试的时候才能够快速准确的运用合适的方法解题。

六、布置作业

七、板书设计下载本文