高考数学圆锥曲线全国卷解答题汇编有答案_动视

高考数学圆锥曲线全国卷解答题汇编有答案

2025-09-24 06:27:20 责编:小OO

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高考数学圆锥曲线汇编

1.（2009年全国二理21）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线

l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

（I ）求a ，b 的值；

（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。解:(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l 的距离为

则|00|2

c --=

，解得1c =.又3,3,23c e a b a ==∴==. （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+

代入椭圆的方程中整理得22

(23)440m y my ++-=，显然0∆>。由韦达定理有：1224,23m y y m +=-

+12

,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：

点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即

1212()()132

x x y y +++=。整理得2222

112212122323466x y x y x x y y +++++=。

又A B 、在椭圆上，即2222

1122236,236x y x y +=+=.

故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212

m =

1222y y ∴+=,12x x +=22

2232

m m -+=+,即32(,2P . 当2322

,(,),:12222m P l x y =

-=+; 当2322

,(,:12222

m P l x y =-

=-+. 2.（2010年全国1理21）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()22

22100x y a b a b

-=＞，＞相交于B 、

D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：（I ）由题设知，l 的方程为.2+=x y

代入C 的方程，并化简得，

.044)(2222222=----b a a x a x a b

设),(),,(2211y x D y x B

则,4,42

2222122

221a

b b

a a x x a

b a x x -+-=⋅-=① 由)3,1(M 为B D 的中点知

,12

1=+x x 故 .14212

22=-⨯a b a 即,32

a b = ②

故.222a b a c =+=

所以C 的离心率.2==

e （II ）由①、②知，C 的方程为：2

33a y x =-

A （a ，0），F （2a ，0），,02

34,22

2121<+-=⋅=+a x x x x 故不妨设.a ,21≥-≤x a x

,233)2()2(||1221212122x a a x a x y a x BF -=-+-=+-=

845)(24)2)(2(||||.

233)2()2(||22

212121222

2222222++=-++-=--=⋅-=-+-=+-=a a a x x a x x a x x a FD BF a x a x a x y a x FD

…………9分

又.17||||=⋅FD BF 故.178452

=++a a 解得5

,1-==a a 或（舍去）故2||=

BD .)(2||2122121=-+=-x x x x x x

连结MA ，则由A （1，0），M （1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆主，MA

为半径的圆经地A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。 …………12分 3.（2010年全国新课标理20）设12,F F 分别是椭圆E:

221x y

a b

+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相较于A,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；

（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.

4.（2011年全国新课标理20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA•AB

= MB•BA ，M 点的轨迹为曲线C 。（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意得知（MA +MB ）• AB =0,即（-x,-4-2y ）• (x,-2)=0. 所以曲线C 的方程式为y=14x-2. (Ⅱ)设P(x,y)为曲线C ：y=14x-2上一点，因为y=12x,所以的斜率为1

因此直线的方程为0001

()2

y y x x x -=-，即200220x x y y x -+-=。则O 点到的距离2

0020|2|

y x d x -=

+.又2

00124y x =-，所以 2

0220014

142(4)2,244

x d x x x +==++≥++

当2

0x =0时取等号，所以O 点到距离的最小值为2.

5．（2008全国二22）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=，直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，其中12x x <，且12x x ，满足方程2

(14)4k x +=，故212

214x x k

=-=

+．①

由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021221510(6)77714x x x x k

=+==+；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

+．所以2

210

12714k k =++，

化简得2

242560k k -+=，

解得23k =或3

k =． ····················································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为

21112

2(1214)

55(14)

x kx k k h k +-+++=

+，

22222

2(1214)

5(14)

x kx k k h k +-+-+=

+． ······················································· 9分

又2215AB =

+=，所以四边形AEBF 的面积为

121()2S AB h h =+21

4(12)

5(14)

k k +=

+22(12)

14k k +=+22144214k k

k ++=+22≤，当21k =，即当1

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ························ 12分解法二：由题设，1BO =，2AO =．

设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为

BEF AEF S S S =+△△

222x y =+222(2)x y =+22222244x y x y =++22

222(4)x y +≤22=，

当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22． ······································· 12分

6. (2010年高考宁夏卷文科20)设1F ,2F 分别是椭圆E ：2

x +2

2y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1

F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。（Ⅰ）求AB （Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值。解：（1）由椭圆定义知22F +F |A ||AB |+|B |=4

又2AB =AF F AB 224||||+|B |,||=3

得（2）L 的方程式为y=x+c,其中2

1c b =-

设1111(),B()A x x ，y ，y ,则A ，B 两点坐标满足方程组

F B y

222y=x+c x 1

y b

+={

化简得222

(1)2120.b x cx b +++-= 则2

121222

212,.11c b x x x x b b

--+==++ 因为直线AB 的斜率为1

，所以21x x |-|

即

2143

x x =-| .则2242

12122222

84(1)4(12)8()49(1)11b b b x x x x b b b --=+-=-=+++ 解得

b =.

7．（2010年高考天津卷文科21）已知椭圆22

221x y a b

+=（a>b>0）的离心率

顶点得到的菱形的面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.

（i

）若AB

||=，求直线l 的倾斜角；（ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y 0的值.

【解析】（Ⅰ）解：由

c a =，得2234a c =.再由222

c a b =-，解得a=2b. 由题意可知1

2242

a b ⨯⨯=，即ab=2.

解方程组2,2,

a b ab =⎧⎨=⎩得a=2，b=1，所以椭圆的方程为2

214x

y +=. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2,0）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k.则直线l 的方程为y=k （x+2）.

于是A 、B 两点的坐标满足方程组22

(2),1.4

y k x x y =+⎧⎪

⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得 2222(14)16(1)0k x k x k +++-=.

由2121214k x k --=+，得2122814k x k -=+.从而1

414k

y k =+.

所以2

||14AB k ==+.

由||AB =

145

k =+. 整理得42

329230k k --=，即2

(1)(3223)0k k -+=，解得k=1±.

所以直线l 的倾斜角为

4π或34

π. （ii ）解：设线段AB 的中点为M ，由（i ）得到M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫

- ⎪

++⎝⎭

. 以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B 的坐标是（2,0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是

()()002,,2,.QA y QB y =--=-由4QA QB •=

，得y =±0

（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫

-=-+ ⎪++⎝⎭

。令0x =，解得02

614k

y k =-

+。

由()02,QA y =--，()110,QB x y y =-，

()()210102

2222286214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --⎛⎫

•=---=+

+ ⎪++++⎝⎭

()

422

2416151414k k k +-=

=+，

整理得2

72k =

。故k =

。所以0y =

综上，0y =±

y =±

8．(2010年高考北京卷文科19)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)-，(2,0)，离心率是

，直线y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P 。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；

（Ⅲ）设Q （x ，y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值。解：（Ⅰ）因为

c a =，且2c =，所以223,1a b a c ==-= 所以椭圆C 的方程为

213

y += （Ⅱ）由题意知(0,)(11)p t t -<<

由22

y t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得23(1)x t =±- 所以圆P 的半径为2

3(1)t - 解得3

t =±

所以点P 的坐标是（0，32±）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程2

()3(1)x y t t +-=-。因为点(,)Q x y 在圆P 上。所以

2223(1)3(1)y t t x t t =±---设cos ,(0,)t θθπ=∈，则2

3(1)cos 32sin()6

t t π

θθθ+-=+=+

当3

θ=

，即1

t =

，且0x =，y 取最大值2. 9．（2010年高考辽宁卷文科20）设1F ，2F 分别为椭圆2

1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为3（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；

（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.

解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l 33, 2.c c ==故所以椭圆C 的焦距为4.

（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l 的方程为3(2).y x =

联立2222422

223(2),

(3)4330.1

y x a b y b y b x y a b ⎧=-⎪

++-=⎨+=⎪⎩得

解得22122222

3(22)3(22)

,.33b a b a y y a b a b

-+-==++

因为22122,2.AF F B y y =-=所以

即

222222

3(22)3(22)

2.33b a b a a b a b +-=⋅++

得22

3.4, 5.a a b b =-==而所以

故椭圆C 的方程为22

1.95

x y += 10. (2011年高考天津卷理科18)在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分

别为椭圆22

221x y a b

+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．

解：（I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =

()2.a c b c -+=

整理得2

2()10,1c

c c

a a

-==-得（舍）

，或1.2c a =所以1.2

e = （Ⅱ）解:由（Ⅰ）知2,3a c b c ==

,可得椭圆方程为2

3412x y c +=.直线2PF 方程为

3()y x c =-,A,B 两点的坐标满足方程组2

34123()

x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理,得2

580x cx -=,解得

1280,5c x x ==,得方程组的解1103x y c =⎧⎪⎨

=-⎪⎩,2185335c x y c

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

不妨设833

(

,)55

c A c ,(0,3)B c -,设点M 的坐标为(,)x y , 则833

(,)55

c AM x y c =-

-,(,3)BM x y c =+. 由3()y x c =-得3

c x y =-

,于是833833

(,),(,3)15555y AM y x x BM x x =--=,2AM BM ⋅=-，即

833833(

)()3215555

y y x x x x -+-⋅=-, 化简得2

18163150x xy --=,将21815

163x y x

-=代入

33c x y =-,得2105

016x c x

+=>,所以0x >,

因此,点M 的轨迹方程是2

18163150(0)x xy x --=>.

11. (2011年高考江西卷理科20)000(,)()P x y x a ≠±是双曲线E ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点，

M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15

．（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．

解：（1）已知双曲线E ：()0,0122

22>>=-b a b

y a x ，()00,y x P 在双曲线上，M ，N 分别为双曲线E

的左右顶点，所以()0,a M -，()0,a N ，直线

PM ，PN

斜率之积为

1551

0220220200000=-⇒=-=-•+=•a

y a x a x y a x y a x y K K PN

PM 而122

022

0=-b y a x ，比较得5

305651222222==⇒=+=⇒=a c e a b a c a b （2）设过右焦点且斜率为1的直线L ：c x y -=，交双曲线E 于A ，B 两点，则不妨设

()()2211,,,y x B y x A ，又()2121,y y x x OB OA OC ++=+=λλλ，点C 在双曲线E 上：

()()()()222222121212122221221510255a y x y y x x y x a y y x x =-+-+-⇒=+-+λλλλλ*（1）

又联立直线L 和双曲线E 方程消去y 得：05104222=++-a c cx x

由韦达定理得：452221a c x x +=，()22222

2121212

545c c a c c x x c x x y y +-+=++-=代入（1）

式得：4-02

27222222==⇒=+-+

λλλλλ，或a a a a a 12. (2011年高考广东卷理科19)设圆C 与两圆

222

254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切.

（1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点3545

()555

M F ，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.

【解析】（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知

2222|(5)(5)|4,x y x y ++--+=

化简得L 的方程为2

2 1.4

x y -=

（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(5)y x =--，将其代入L 的方程得

215325840.x x -+=

解得121265145652514525

,,(,),(,).515551515x x l L T T =

=-故与交点为因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==

22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=

故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。

13.(2011年高考陕西卷理科17)如图，设P 是圆珠笔2

25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为P D 上一点，且4

MD PD =

（Ⅰ）当P 的在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

的直线被C 所截线段的长度。【解析】：（Ⅰ）设M 的坐标为(,),x y P ，P 的坐标为(,),p p x y

由已知得,

p p x x y y =⎧⎪

⎨=⎪⎩P 在圆上，2

5()25,4

x y ∴+=即C 的方程为2212516x y +

= （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

45 的直线方程为4

(3)5

y x =-，设直线与C 的交点为 22(,),(,)A x y B x y ，将直线方程4

(3)5

y x =-代入C 的方程，得22(3)12525x x -+=，

即2

380x x +-=。12341341

,22

x x -+∴=

= ∴线段AB 的长度为22212121216

()()(1)()25

AB x x y y x x =-+-=+

- 414141255

⨯= 注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。 14.(2011年高考重庆卷理科20)如图（20），椭圆的中心为原点O ，离心率2

e =，一条准线的方程为22x =。

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。

（Ⅱ）设动点P 满足2OP OM ON =+,其中M,N 是椭圆上的点。直线OM 与ON 的斜率之积为

-。问：是否存在两个定点12F F 、，使得12PF PF +为定值。若存在，求12F F 、的坐标；若不存在，说明理由。

解析：（Ⅰ）由2

2,222a a e c c

=，解得2222,2,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为22

142

x y += （Ⅱ）设(),P x y ，()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+得

()()()1122,,2,x y x y x y =+，即12122,2x x x y y y =+=+，

因为点M,N 在椭圆22

142

x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+= 故(

)(

)

12121212244244x y x x x x y y y y +=+++++ (

)()()22

211

2121224242x y x

y x x y y =+++++

()12122042x x y y =++，

设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知，

12121

=-2

OM ON y y k k x x ，因此12122=0x x y y +，所以2

220x y +=，所以P 点是椭圆

()()

12510x

=上的点，设该椭圆的左右焦点为12F F 、，则由椭圆的定义，

PF PF +为定值，又因()()2

251010c =+=，因此两焦点的坐标分别为

()()12

10,010,0F F -、

15．(2011年高考四川卷理科21) 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，

过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．

(I)当|CD | = 3

时，求直线l 的方程；

(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ •为定值.

解析：由已知可得椭圆方程为

212

x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率. 则12122

222

122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ⎧

⎧

=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩

+⎩

2422

212122222

888

()()22(2)(2)2

k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=-++， l ∴的方程为21y x =-+.

13.(2011年高考全国卷理科21)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

【解析】： (Ⅰ)证明：由2

1(0,1)2

y x F +=得，:21l y x =-+，由2

124221012

y x x x y x ⎧=-⎪--=⎨+

=⎪⎩得设1111122844(1)

(,),(,),24

A x y

B x y x --⨯⨯-=

⨯则

2-=

，222844(1)26

244

x +-⨯⨯-+==⨯，

12631

2142y -+=-⨯

+=， 22613

2142

y +-=-⨯

+=0.OA OB OP ++=

12122

()2()1

p p

x x x y y y ⎧=-+=-⎪∴⎨⎪=-+=-⎩，222

221()1222p p y x +=-+=故点P 在C 上（Ⅱ）法一：点P 2(,1)2-

-，P 关于点O 的对称点为Q ，2

(,1)2

Q ∴， 2

2111

2211131(

11121122261

()22242

AQ AP

y y y K K x x x +-----=⋅===-------

，即90PAQ ∠=，同理

1PB BQ K K =-即90PBQ ∠=，∴ 180PAQ PBQ ∠+∠= A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.

法二：由已知有⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1,22Q 则PQ 的中垂线为：x y 22

-=设A 、B 的中点为()33,y x D

∴()()

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+-++-=+==+=2121212242211213

213x x y y y x x x ∴⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛21,42D 则AB 的中垂线为：4122+=x y 则PQ 的中垂线与AB 的中垂线的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

81,82'

O ∴8

113||||''==QO PO ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-81,82'

O 到直线AB 的距离为8333|181

822|=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=d ()()

()

[

]

2343||212

212

21=

-+=-+-=

x x x x y y x x AB

∴81132||||||2

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛==d AB BO AO 即||||||||''''QO PO BO AO === ∴A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

14. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12

2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 【解析】（1）因为(2,0)

M -、N ,

所以MN 的中点坐标为(-1,

),又因为直线PA 平分线段MN ，

所以k 的值为 (2)因为k=2,所以直线AP 的方程为2y x =,由222142

y x

x y =⎧⎪

⎨+

=⎪⎩得交点P(24,33)、A(24,33--),

因为PC ⊥x 轴，所以C （

2,03)，所以直线AC 的斜率为1，直线AB 的方程为2

3y x =-，所以点P 到直线AB 的距离

242|

--3. （3）法一：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则， A 、C 、B 三点共线，0101

10010

,2y y y y x x x x x +∴

==-+又因为点P 、B 在椭圆上，

222200111,14242x y x y ∴+=+=，两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+

00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=

-=-=-+++ PA PB ∴⊥

法二：设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则,

A 、C 、

B 三点共线，221121211

,2AB y y y y

k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,

222222111,14242

x y x y ∴+=+=,两式相减得：001

2AB y x k =-,

01011

212ON PA AB AB

y y k k k x x k ∴=

=-⨯=-,//,ON PB PA PB ∴⊥ 15．(2011年高考北京卷理科19)已知椭圆2

2:14

x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.

（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.

解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=

b a c

所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(- 离心率为.2

3==a c e

（Ⅱ）由题意知，1||≥m .

当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),2

3,1(),23,1(- 此时3||=

当m=－1时，同理可得3||=

当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=

由0448)41(.14

(222222

2=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得

设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则

22212221414

4,418k m k x x k m

k x x +-=+=+

又由l 与圆.1,11

||,122222

+==+=+k k m k km y x 即得

相切

所以212212)()(||y y x x AB -+-=

]41)

44(4)41()[1(2

222242

k m k k m k k +--++=2 .3

||342

m m

由于当3±=m 时，,3||=AB

所以),1[]1,(,3

|34||2+∞--∞∈+=

m m m AB .

因为,2|

||343

|34||2≤+

m m m m AB

且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.下载本文

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