A．有最大值－2 B．有最小值2
C．无最大值和最小值 D．无法确定
答案：B
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝＋4x.
(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；
(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴，4x＞0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x＞0时，f(x)的最小值为8.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8.
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋ B．x2－1＋
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．－3
C．6 D．6－3
解析：选D.y＝3(x2＋)＝3(x2＋1＋－1)≥3(2－1)＝6－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．
4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a ≥2＝4；
④∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；
②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
④由xy＜0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，(－)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有( )
A．最大值 B．最大值
C．最小值 D．最小值
解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy＝8x＋2y≥2＝8，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
∴xy≥.
二、填空题
7．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.
答案：大
9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.
当且仅当＝时取等号．
答案：3
三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；
(2)求函数y＝(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5
≥2 ＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．
∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝＝＝(x＋1)＋
＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)·(－1)·(－1)≥8.
证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝＝＋≥，
同理－1≥，－1≥，
以上三个不等式两边分别相乘得
(－1)(－1)(－1)≥8.
当且仅当a＝b＝c时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．
总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12000
≥1600＋12000
＝36000(元)
当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝15时等号成立．下载本文
