一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 当时，与比较是（ ）
A. 是较高阶的无穷小量
B. 是较低阶的无穷小量
C. 与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D. 与是等价无穷小量
解析：
故选C。
*2. 设函数，则等于（ ）
A. B. C. D.
解析：
选C
3. 设，则向量在向量上的投影为（ ）
A. B. 1 C. D.
*4. 设是二阶线性常系数微分方程的两个特解，则（ ）
A. 是所给方程的解，但不是通解
B. 是所给方程的解，但不一定是通解
C. 是所给方程的通解
D. 不是所给方程的通解
解：当线性无关时，是方程的通解；当线性相关时，不是通解，故应选B。
*5. 设幂级数在处收敛，则该级数在处必定（ ）
A. 发散 B. 条件收敛
C. 绝对收敛 D. 敛散性不能确定
解：在处收敛，故幂级数的收敛半径，收敛区间，而，故在处绝对收敛。
故应选C。
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空。每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。
6. 设，则_________。
7. ，则__________。
8. 函数在区间上的最小值是__________。
9. 设，则__________。
*10. 定积分__________。
解：
*11. 广义积分__________。
解：
*12. 设，则__________。
13. 微分方程的通解为__________。
*14. 幂级数的收敛半径为__________。
解：
，所以收敛半径为
15. 设区域D由y轴，，所围成，则__________。
三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分。解答时要求写出推理，演算步骤。
16. 求极限。
*17. 设，试确定k的值使在点处连续。
解：
要使在处连续，应有
18. 设，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。
19. 设是的原函数，求。
20. 设，求。
*21. 已知平面，。
求过点且与平面都垂直的平面的方程。
的法向量为，的法向量
所求平面与都垂直，故的法向量为
所求平面又过点，故其方程为：
即：
22. 判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。
*23. 求微分方程满足初始条件的特解。
由，故所求特解为
*24. 求，其中区域D是由曲线及所围成。
因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故
*25. 求微分方程的通解。
解：特征方程：
故对应的齐次方程的通解为 （1）
因是特征值，故可设特解为
代入原方程并整理得：
故所求通解为：
26. 求函数的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。
*27. 将函数展开成x的幂级数。
*28. 求函数的极值点与极植。
解：令
解得唯一的驻点（2，-2）
由且，知（2，-2）是的极大值点
极大值为
【试题答案】
一.
1.
故选C。
2.
选C
3. 解：上的投影为：
应选B
4. 解：当线性无关时，是方程的通解；当线性相关时，不是通解，故应选B。
5. 解：在处收敛，故幂级数的收敛半径，收敛区间，而，故在处绝对收敛。
故应选C。
二.
6. 解：
令得：
7. 由
8. 解：，故y在[1，5]上严格单调递增，于是最小值是。
9. 解：
10. 解：
11. 解：
12.
13. 解：特征方程为：
通解为
14. 解：
，所以收敛半径为
15. 解：
三.
16. 解：
17. 解：
要使在处连续，应有
18. 解：，切线的斜率为
切线方程为：，即
19. 是的原函数
20. 解：
21. 的法向量为，的法向量
所求平面与都垂直，故的法向量为
所求平面又过点，故其方程为：
即：
22. 解：满足（i），（ii）
由莱布尼兹判别法知级数收敛
又因，令，则
与同时发散。
故原级数条件收敛。
23.
由，故所求特解为
24. 因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故
25. 解：特征方程：
故对应的齐次方程的通解为 （1）
因是特征值，故可设特解为
代入原方程并整理得：
故所求通解为：
26. ，令得驻点，又
故是的极小值点，极小值为：
因，曲线是上凹的
27.
28. 解：令
解得唯一的驻点（2，-2）
由且，知（2，-2）是的极大值点
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