202006 初三数学
几何综合 北京各区二模试题分类整理
202006 初三数学二模试题整理：几何综合（教师版）
一、 以四边形为背景的几何综合题
（一）四边形+旋转
1.（202006 二模燕山 27）已知菱形 ABCD 中，∠A ＝60°，点 E 为边 AD 上一个动点（不
与点 A ， 重合），点 F 在边 DC 上，且 AE ＝DF ，将线段 DF 绕着点 D 逆时针旋转 120° 得线段 DG ，连接 GF ，BF ，EF ．
（1）依题意补全图形；
（△2）求证： BEF 为等边三角形；
（3）用等式表示线段 BG ，GF ，CF 的数量关系，
并证明．
答案：(1)解：补全图形，如图．
………1 分
(2)证明：∵菱形 ABCD ，
∴AB ＝AD ．
又∵∠A ＝60°，
△∴ ABD 为等边三角形，
∴∠ABD ＝∠BDC ＝60°，AB ＝BD ．
△在 ABE △和 DBF 中，
A E D
B C
G
A E D
F
B C
AB ＝BD ，∠A ＝∠BDF ，AE ＝DF ，
△∴ ABE ≌△DBF ，
∴BE ＝BF ，∠ABE ＝∠DBF ，
∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠EBD ＋∠ABE ＝∠ABD ＝60°，
△∴ BEF 为等边三角形．
…………………………4 分
(3) BG ，GF ，CF 的数量关系为 3 (BG －CF )＝2GF ．…………………………5 分
证明：如图 2，取 FG 中点 H ，连接 DH ，
∵AE ＝DF ＝DG ，∠FDG ＝120°， ∴∠DFG ＝∠DGF ＝30°，DH ⊥GF ，
∴GF ＝2GH ＝2DG ·cos30°＝ 3 DG ．
A E D
G
H
F
△又∵ BCD 为等边三角形，
B C
（ 202006 初三数学
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∴BD ＝CD ，∠BDC ＝60°．
∵∠FDG ＝120°，
∴∠BDC ＋∠FDG ＝180°，即 B ，D ，G 三点在同一条直线上，
∴BG ＝BD ＋DG ＝CD ＋DG ＝CF ＋DF ＋DG ＝CF ＋2DG ，
∴BG －CF ＝2DG ．
∴ 3 (BG －CF )＝2 3 DG ＝2GF ．
…………………………7 分
（二）四边形性质
2.（202006 二模西城 27）
（轴对称）
在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上一点（CE >DE ），AE ，BD 交于点 F .
（1）如图 1，过点 F 作 GH ⊥AE ，分别交边 AD ，BC 于点 G ，H .
求证：∠EAB =∠GHC ；
（2）AE 的垂直平分线分别与 AD ， AE ， BD 交于点 P ，M ，N ，连接 CN .
① 依题意补全图形；
② 用等式表示线段 AE 与 CN 之间的数量关系，并证明．
A
G
F
D A
E
F
D
E
B
H C B C
图 1
备用图
答案： 1
）证明：在正方形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD = 90°，
∴ ∠AGH =∠GHC ．
∵ GH ⊥AE ，
∴ ∠EAB =∠AGH ． ∴ ∠EAB =∠GHC ．
（2）① 补全图形，如图所示．
A G
F
D
E
② AE 2CN ．
B
H C
∵四边形ABCD是正方形，
A P D
∴点A，点C关于BD对称．∴NA=NC，∠1=∠2．1M F
E
∵PN垂直平分AE，
∴NA=NE．Q N 4 3
∴NC=NE．∴∠3=∠4．B
2
C
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，
∴∠AQE=∠4．
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．
∴∠ANE=∠ANQ=90°．
在Rt△ANE中，
∴AE2CN．····························································7分二、以三角形为背景的几何综合题
（一）三角形+轴对称
3.（202006二模顺义27）（轴对称+旋转）
已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为线段BC上一动点（点D不与
点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）AE与DF的位置关系是；
（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF=°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：
B
E
．
B
E
（
想法 1：过点 A 作 AG ⊥CF 于点 G ，构造正方形 ABCG ， 然后可证△AFG ≌△AFE ……
想法 2：过点 B 作 BG ∥AF ，交直线 FC 于点 G ，构造
□ A BGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……
请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可） A
D C
答案：解： 1
）补全图形如下： …………………………… 1 分
A
F
D
C
（2）AE 与 DF 的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2 分
（3）∠DAF = 45° ………………………………………………… 3 分
（想法 1 图形）
A
G
F
B
D
E
C
证明如下：过点 A 做 AG ⊥CF 于点 G ，依题意可知：
∠B =∠BCG =∠CGA =90°． ∵AB =BC ，
∴四边形 ABCG 是正方形．…………………………………… 4 分 ∴AG =AB ， ∠BAG =90°．
∵点 B 关于直线 AD 的对称点为 E ，
∴AB =AE ，∠B =∠AED =90° ，∠BAD =∠EAD ．…………… 5 分 ∴AG =AE ． ∵AF =AF ，
∴Rt △AFG ≌Rt △AFE (HL) ． ………………………………… 6 分 ∴∠GAF =∠EAF ． ∵∠BAG =90°，
∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠GAF =90°． ∵∠BAD =∠EAD ， ∠EAF =∠GAF ，
即∠DAF=45°．……………………………………………7分（想法2图形）
A
F
B D E C
G
证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，
依题意可知：∠ABC=∠BCF=90°．
∴AB∥FG．
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF是平行四边形．………………………………4分
∴AF=BG，∠BGC=∠BAF．
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB=AE，∠ABC=∠AED=90°，∠BAD=∠EAD．…………5分
∵AB=BC，
∴AE=BC．
∴Rt△AEF≌△R t BCG(HL)…………………………………6分
∴∠EAF=∠CBG．
∵∠BCG=90°，
∴∠BGC+∠CBG=90°．
∴∠BAF+∠EAF=90°．
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90o．
∵∠BAD=∠EAD，
∴∠EAD+∠EAF=45°．
即∠DAF=45°．………………………………………………7分
为中心,将射线 AD 顺时针旋转 60°，与△ABC 的外角平分线 BM 交于点 E . 5
（二）三角形+旋转
4.（202006 二模海淀 27）
如图 1，等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，满足 BD < CD ,
连接 AD , 以点 A
．．． （1）依题意补全图 1；
（2）求证：AD =AE ；
（3）若点 B 关于直线 AD 的对称点为 F ，连接 CF .
① 求证：AE ∥CF ；
② 若 BE + CF = AB 成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.
M
A
M
A
B
D
图 1
C B
备用图
C
答案：
（1）依题意补全图形
M
A
E
（2）证明：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.
∵ 射线 AD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到射线 AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.
∵ ∠ABC =60°，
∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°.
M
E
B D C
A
3 1 2
∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C.
∴ △ABE ≌△ACD .
4 N B D C
202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理∴AD=AE.
（3）①证明：连接AF，设∠BAD=α，M
A
∵点B与点F关于直线AD对称，∴∠F AD=∠BAD=α，F A=AB.
∵∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAE-∠DAB=60°-α.E
N B D F C
∵等边三角形ABC中，∠BAC=60°，
∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=120°-α.
∵AB=AC，AF=AB，
∴AF=AC.
∴∠F=∠ACF.
∵∠F AC=∠BAC-∠F AD-∠BAD=60°-2α，
且∠F+∠ACF+∠F AC=180°，
∴∠ACF=60°+α.
∴∠EAC+∠ACF=180°.
∴AE∥CF.
②20°.
5.（202006二模丰台27）（旋转）
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．
（1）根据题意补全图形；
（2）判断△ACD的形状并证明；
（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的
数量关系，并证明.
温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，A
B C
可以参考下面几种解法的主要思路.
解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF=AB，连接EF，可证△ABE△≌CEF，
△
再证BEF是等腰直角三角形.
解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角
形，再证△ABC△∽AME.
解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，
设BN=a，EN=b，用含a或b的式子表示出AB，BC.
……
答案：
解：（1）正确补全图形：……………………………2 分
（2△） ACD 是等腰直角三角形；
…………………………………3 分
证明：∵将 CA 绕点 C 顺时针旋转 45°，
∴∠ACP=45°.
∵点 D 与 A 关于直线 CP 对称， ∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD . ∴∠ACD=90°.
△
∴ ACD 是等腰直角三角形. ………………………………4 分
（3）AB +BC = 2 B E ；
………………………………………………5 分
解法 1 证明：延长 BC 至点 F ，使 CF = AB ，连接 DF ，EF .
△∵ ACD 是等腰直角三角形，AE =DE ，
P
∴AE =CE ，∠AEC=90°. A
E
∵∠ABC =90°,
∴∠BAE+∠BCE =180°.
∵∠FCE +∠BCE =180°, 1
3 2 D
∴∠BAE =∠FCE . B C F
△∴ ABE ≌△CFE .
……………………………………6 分
∴BE =FE , ∠1=∠2.
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°.
即∠BEF=90°.
△∴ BEF 是等腰直角三角形.
………………………7 分
∴BC+CF = 2 B E .
即 AB +BC = 2 B E .
………………………………8 分
解法 2 证明：过点 A 作 AM ⊥BE 于点 M ,取 AC 中点 G ，连接 GB ，GE .
设∠GBE = α ，∠ABG = β ,
∵∠ABC =∠AEC =90°,
1
相等，证明∠ABE=45°）
∴AB
===2.
2
AC.
∴∠ABG=∠BAC=β,∠GBE=∠GEB=α.
△
在BGE中，
∵∠GBE+∠BGE+∠BEG=180°,
∴2α+2β+90︒=180︒.
∴α+β=45︒.
即∠ABE=45°.……………………………6分
（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角
P
A
∵∠AMB=90°,E
D
∴∠BAM=∠CAE=45°.
∴∠BAC=∠MAE.
G M
∵∠ABC=∠AME=90°,
B C
△
∴ABC△∽AME.……………………………………7分
BC AC
AM ME AE
∴BC=又∵AB=2ME. 2BM.
∴AB+BC=2(BM+ME)=2BE.………………8分解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M,过C作CN⊥BE于点N,
∴∠AME=∠CNE=90°.P
即∠MAE+∠AEM=90°.A E
∵∠MEC+∠AEM=90°.
∴∠MAE=∠MEC.N M
D
∵AE=CE,B C
（3）当 ∠ADB = α 时，进一步探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并用含α 的等
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∴△AME ≌△ECN . ……………………………6 分
∴AM=EN .
同解法 2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ………………………7 分
设 BN=a ,EN=b
∴BC = 2 a ，AB = 2 b .
∴AB +BC = 2( BN + EN ) = 2BE . ………………8 分
（说明：三条线段数量关系写为：(AB + BC )2 = 2BE 2 等其他等式如果正确也给分 ）
6.（202006 二模东城 27△）在 ABC 中 AB =AC ，∠BAC = α ，D 是△ABC 外一点，点 D 与
点 C 在直线 AB 的异侧，且点 D ，A ，E 不共线，连接 AD ， B D ，CD ．
（1）如图 1，当 α = 60︒ ，∠ADB =30°时，画出图形，直接写出 AD ，BD ，CD 之间
的数量关系；
（2）当 α = 90︒ ，∠ADB =45°时，利用图 2，继续探究 AD ，BD ，CD 之间的数量关
系并证明；
（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）
1 2
式直接表示出它们之间的关系．
图 1
图 2
7.（202006二模房山27）（旋转+相似）
点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰RtΔADC，连接BD，在ΔABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC.
（1）如图1，当∠DBA=30︒时：
①求证：AC=BD；
②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；
E
D
A C B
图1
（2）如图2，当0°<∠DBA<45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？
对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：
想法1：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段BD的垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明三角形∆ADB≌ΔCDG全等解决以上问题；202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理想法2：尝试将点D为旋转中心.过点D作线段AB的垂线，垂足为点G，连
接EG.通过证明ΔADB∽ΔGDE解决以上问题；
想法3：尝试利用四点共圆.过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明
D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.
请你参考上面的想法，证明EC=EB（一种方法即可）
E
D
A 答案：（1）C B
图2
①过点D作DF⊥AC于F……………………………………1分∵∠DBA=30︒
∴DF=1
2 BD
∵以AC为斜边作等腰RtΔADC ∴AF=FC
∴DF=1
2AC
∴AC=BD……………………………………2分
②∵等腰RtΔADC与等腰Rt△BED中AC=BD
∴DC=DE，∠FDC=∠CDE=45ο
∵∠DBA=30︒
∴∠FDB=60ο,∠CDB=15ο
∴∠CDE=60ο
∴ΔCDE是等边三角形……………………………………3分∵EB=DE
∴EC=EB……………………………………4分（2）法1.添加辅助线……………………………5分
证出ΔADB≌ΔCDG……………………………6分
∴∠DCG=∠A=45ο
∴∠GCB=90ο
∵EG=EB
∴EC=EB………………7分
法2.添加辅助线………………5分
证出ΔADB△ΔGDE…………………6分
∴∠DGE=∠A=45ο
∴GE平分∠DGC
∴GE是DC的中垂线
∴ED=EC=EB……………7分
法3.添加辅助线………………………5分
证出∠EFB=∠EDB=45ο…………6分
∴FE是DC的中垂线
∴ED=EC=EB……………7分
8.（2020朝阳二模27）已知∠AOB=40°，M为射线OB上一定点，OM=1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠APN=∠OMP；
（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．
图1
解：（1）补全图形，如图所示.
备用图
（2）证明：根据题意可知，∠MPN=∠AOB=40°，
∵∠MP A=∠AOB+∠OMP=∠MPN+∠APN,
∴∠APN=∠OMP.
（3）解：OH的值为1.
在射线P A上取一点G，使得PG=OM，连接GN.
根据题意可知，MP=NP.
∴△OMP≌△GPN.
∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40°.
∴PG=OH.
∴OP=HG.
∴NG=HG.
∴∠NHG=70°.
∴∠OHN=110°.
9.（2020平谷二模27）如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．
（1）依据题意补全图形；
（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是；
（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．
小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形A BCD补全成为正方形ABCE，就易证ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；
△
想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证
AM=CF，从而解决问题；
想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证.
请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MD.
(一种方法即可）
27.（1）补全图形................................................１
（2）60° (2)
（3）当∠AMB=75︒时结论成立 (3)
证明：想法一：
过A作AE⊥CD于E．
∵∠B=∠C=∠E=90°
AB=BC
∴四边形ABCE是正方形 (4)
∴AB=AE，∠B=∠E，BC=CE
∵MC=DC
∴BM=DE
∴△ABM≌△AED (5)
∴AD=AM
∵∠AMB=75°,∠DMC=45°
∴∠AMD=60°
∴△AMD是等边三角形
∴AM=DM (6)
(其他证明方法类似给分)
三、特殊情况
10.（202006二模密云27）（旋转）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN<120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN=60°．
图1备用图
（1）若点C位置如图1所示．
①依据题意补全图1；
②求证：∠CDB=∠MAC；
（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD=3，并证明．
答案：
(1)①
………………2分202006初三数学几何综合北京各区二模试题分类整理
②证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°
∴∠C=∠DBN
∵∠DBN+∠ABD=180°
∴∠C+∠ABD=180°
在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC=180°
∵∠BAC+∠MAC=180°
∴∠CDB=∠MAC………………4分
(2)BC=3时，对于任意一点C，总有AB+BD=3………………5分
证明：连接BC，在直线MN上截取AH=BD，连接CH
∵∠MAC=∠CDB，AC=CD
∴∆ACH≅∆DCB………6分
∴∠ACH=∠DCB，CH=CB
∵∠DCB+∠ACB=∠ACD=60°
∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°
∴△HCB是等边三角形.
∴BC=BH=BA+BD=3.…………………7分下载本文
