一、选择题
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．等边三角形 D．直角三角形
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
3．下列各式中计算结果为x5的是（ ）
A．x3+x2 B．x3•x2 C．x•x3 D．x7﹣x2
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
5．一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
6．等腰三角形△ABC的周长为18cm，且BC＝8cm，则此等腰三角形必有一边长为（ ）
A．7cm B．2cm或5cm C．5cm D．2cm或7cm
7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
8．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（ ）
A．24 B．36 C．72 D．6．
9．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝ 度．
13．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝ ．
14．△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝ ．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD，BE与CD相交于点F，连接BD，若BD＝BF，则∠BDF为 度．
16．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B，C，D在同一条直线上，已知AC＝AE＝CD，∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF，EF，分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（1）计算：（2y2）3﹣（y3）2
（2）计算（x﹣2）（x+3）
18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．
19．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．
21．如图，在长方形网格中，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，例如图中的点A、点B．
（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．并写出点A的对应点C的坐标 ．
（2）在y轴上找一点P使△ABP的周长最小，请在图中画出点P（保留作图痕迹）．
（3）M为x轴上一点，请在x轴上找一点Q使∠BQO＝∠AQM，请在图中画出点Q（保留作图痕迹）．
22．如图，线段BC＝8，射线CG⊥BC，A为射线CG上一点，已知FA⊥AB且FA＝AB，AE平分∠FAB，且E点满足∠EBA＝∠ABC．
（1）求证：△ABE≌△AFE．
（2）证明：FD⊥BC．
（3）求△BED的周长．
23．如图1，∠AOB＝30°，点M为射线OB上一点，平面内有一点P使∠PAM＝150°且PA＝AM．
（1）求证：∠OMA＝∠OAP．
（2）如图2，若射线OB上有一点Q使∠POA＝∠AQO，求证：OP＝AQ．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥OB，且OH＝AH，已知N点为MQ的中点，且ON＝，则OA＝ ．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A（n，0）是x轴上一点，点B（0，m）是y轴上一点，且满足多项式（x+m）（nx﹣2）的积中x的二次项与一次项系数均为2．
（1）求出A，B两点坐标．
（2）如图1，点M为线段OA上一点，点P为x轴上一点，且满足BM＝MN，∠NAP＝45°，证明：BM⊥MN．
（3）如图2，过O作OF⊥AB于F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBM，连接AM交OF于点N，试探究：在线段AF，AN，MN中，哪条线段等于AM与ON差的一半？请写出这个等量关系并证明．
参
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．等边三角形 D．直角三角形
解：等腰三角形、正方形、等边三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，
故选：D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
解：由3，4，8，可得3+4＜8，故不能组成三角形；
由5，6，11，可得6+5＝11，故不能组成三角形；
由6，6，6，可得6+6＞6，故能组成三角形；
由9，9，19，可得9+9＜19，故不能组成三角形；
故选：C．
3．下列各式中计算结果为x5的是（ ）
A．x3+x2 B．x3•x2 C．x•x3 D．x7﹣x2
解：A．不是同类项不能合并，所以A选项不符合题意；
B．x3•x2＝x5．符合题意；
C．x•x3＝x4，不符合题意；
D．不是同类项不能会并，不符合题意．
故选：B．
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
5．一个多边形的内角和等于它的外角和，则它的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
解：∵任意多边形外角和为360°，
∴它的内角和等于360°．
故选：A．
6．等腰三角形△ABC的周长为18cm，且BC＝8cm，则此等腰三角形必有一边长为（ ）
A．7cm B．2cm或5cm C．5cm D．2cm或7cm
解：分为两种情况：
①当BC是底边时，腰AB＝AC，
∴AB＝AC＝（18﹣8）＝5cm，
∴此等腰三角形必有一边长为cm，
②BC是腰时，腰是8cm，
∵等腰△ABC的周长为18cm，
∴等腰三角形必有是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm，
即此等腰三角形必有一边长为是5cm或2cm，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
8．已知am＝2，an＝3，则a3m+2n的值是（ ）
A．24 B．36 C．72 D．6．
解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m+2n＝（am）3×（an）2
＝23×32
＝72．
故选：C．
9．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD＝BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：∵，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最短为（ ）
A．5 B． C． D．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，如图所示：
则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，
∴∠CAD＝∠FAE，
在△DAC和△EAF中，，
∴△DAC≌△EAF（SAS），
∴∠ACD＝∠AFE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，
当CE⊥EF时，CE有最小值，
∴CE的最小值＝CF＝；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是 （3，﹣5） ．
解：点（﹣3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（3，﹣5），
故答案为：（3，﹣5）．
12．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝ 90 度．
解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90
13．如图，△ABC≌△DEF，在△DEF中，ED是最长边，在△ABC中，AB是最长边，FA＝1.1，AC＝3.3，则AD＝ 2.2 ．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∵FA＝1.1，AC＝3.3，
∴FC＝AD＝3.3﹣1.1＝2.2．
故答案为：2.2．
14．△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝ 90° ．
解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠B﹣∠C+∠B+∠C＝180°
即：2∠B＝180°
∴∠B＝90°，
故答案为：90°．
15．如图，已知△ABC中，AB＝AC，分别在AB的右侧、AC的左侧作等边△ABE和等边△ACD，BE与CD相交于点F，连接BD，若BD＝BF，则∠BDF为 20 度．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△ABE和△ACD是等边三角形，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠ADC＝60°，AD＝AC，
∴∠FBC＝∠FCB，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∵BD＝BF，
∴∠BDF＝∠BFD＝∠FBC+∠FCB，
设∠FCB＝∠FBC＝x，则∠BDF＝∠BFD＝2x，∠ABD＝∠ADB＝60°+2x，∠ABC＝60°+x，
在△BCD中，由三角形内角和定理得：2x+60°+2x+60°+x+x＝180°，
解得：x＝10°，
∴∠BDF＝2x＝10°；
故答案为：20．
16．如图，直角三角形ABC与直角三角形BDE中，点B，C，D在同一条直线上，已知AC＝AE＝CD，∠BAC和∠ACB的角平分线交于点F，连DF，EF，分别交AB、BC于M、N，已知点F到△ABC三边距离为3，则△BMN的周长为 6 ．
解：作FN⊥BC于N，FH⊥AB于H，在HA上截取HK＝JN，连接FK．
∵点F是△ABC的内心，FH⊥AB，FJ⊥BC，
∴FH＝FJ，
∵∠FHB＝∠FJB＝∠HBJ＝90°，
∴四边形FHBJ是矩形，∵FH＝FJ，
∴四边形FHBJ是正方形，
∵∠AFC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB），∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠AFC＝135°，
∵AC＝AE，∠FAC＝∠FAB，AF＝AF，
∴△AFC≌△AFB（SAS），
∴∠AFC＝∠AFE＝135°，
∴∠EFC＝90°，
同法可证△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠AFC＝∠AFC＝135°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠MFN＝360°﹣90°﹣135°﹣90°＝45°，
∵HK＝JN，∠FJK＝∠FJN，FH＝FJ，
∴△FHK≌△FJN（SAS），
∴FK＝FN，∠JFN＝∠HFK，
∵∠KFN＝∠KFH+∠HFM＝∠HFM+∠JFN＝45°，
∴∠MFK＝∠MFN，
∵FM＝FM，FK＝FN，
∴△MFK≌△MFN（SAS），
∴MN＝MK，
∴MN＝MH+HK＝MN+JN，
∴△BMN的周长＝BM+MN+BN＝BN+NJ+BM+MH＝2BJ＝6．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（1）计算：（2y2）3﹣（y3）2
（2）计算（x﹣2）（x+3）
解：（1）原式＝8y6﹣y6
＝7y6；
（2）原式＝x2+3x﹣2x﹣6
＝x2+x﹣6．
18．如图，△ABC中，AD为BC边上的高，CF为∠ACB的角平分线，DE⊥CF于E，已知∠CAB＝40°，∠EDF＝16°，求∠CBA．
解：∵AD⊥BD，DE⊥CF，
∴∠DEF＝∠CDF＝90°，
∴∠DCF+∠CFD＝∠CFD+∠EDF＝90°，
∴∠DCF＝∠EDF＝16°，
∵CF为∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝2∠DCF＝32°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝108°．
19．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，求证：CD＝BE．
【解答】证明：在△ACD和△ABE中，，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．
解：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
21．如图，在长方形网格中，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，例如图中的点A、点B．
（1）作出线段AB关于y轴对称的线段CD．并写出点A的对应点C的坐标 （﹣4，3） ．
（2）在y轴上找一点P使△ABP的周长最小，请在图中画出点P（保留作图痕迹）．
（3）M为x轴上一点，请在x轴上找一点Q使∠BQO＝∠AQM，请在图中画出点Q（保留作图痕迹）．
解：（1）如图所示，线段CD即为所求，点C的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）；
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）如图所示，点Q即为所求．
22．如图，线段BC＝8，射线CG⊥BC，A为射线CG上一点，已知FA⊥AB且FA＝AB，AE平分∠FAB，且E点满足∠EBA＝∠ABC．
（1）求证：△ABE≌△AFE．
（2）证明：FD⊥BC．
（3）求△BED的周长．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠FAB，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△ABE和△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设AB交FD于点N，如图1所示：
∵FA⊥AB，
∴∠FAN＝90°，
∵△ABE≌△AFE，
∴∠F＝∠ABE，
∵∠EBA＝∠ABC，
∴∠F＝∠ABC，
∵∠ANF＝∠DNB，
∴∠BDN＝∠FAN＝90°，
∴FD⊥BC；
（3）解：∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
∴BD+DE+BE＝BD+DF，
过点A作AH⊥FD于H，如图2所示：
则四边形ACDH是矩形，
在△ABC和△AFH中，，
∴△ABC≌△AFH（AAS），
∴FH＝BC＝8，AH＝AC，
∴四边形ACDH是正方形，
∴AH＝AC＝CD，
∴BD+DE+BE＝BD+DF＝BD+CD+FH＝2BC＝16，
∴△BED的周长为16．
23．如图1，∠AOB＝30°，点M为射线OB上一点，平面内有一点P使∠PAM＝150°且PA＝AM．
（1）求证：∠OMA＝∠OAP．
（2）如图2，若射线OB上有一点Q使∠POA＝∠AQO，求证：OP＝AQ．
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥OB，且OH＝AH，已知N点为MQ的中点，且ON＝，则OA＝ 2 ．
【解答】（1）证明：延长PA交OB于E，如图1所示：
∵∠PAM＝150°，
∴∠MAE＝180°﹣150°＝30°＝∠AOB，
∵∠OMA＝∠MAE+∠AEM，∠OAP＝∠AOB+∠AEM，
∴∠OMA＝∠OAP；
（2）证明：在MQ上取一点D，使AD＝AM，如图2所示：
则∠AMD＝∠ADM，
∴∠OMA＝∠QDA，
由（1）得：∠OMA＝∠OAP，
∴∠QDA＝∠OAP，
∵PA＝AM，
∴PA＝AD，
在△OAP和△QDA中，，
∴△OAP≌△QDA（AAS），
∴OP＝AQ．
（3）解：在MQ上取一点D，使AD＝AM，如图3所示：
由（2）得：△OAP≌△QDA，
∴OA＝QD，
∵AH⊥OB，
∴MH＝DH，
设AH＝x，MH＝DH＝y，则OH＝x，OA＝QD＝2x，
∴MQ＝2x+2y，
∵N点为MQ的中点，
∴MN＝MQ＝x+y，
∵OM＝x﹣y，
∴ON＝OM+MN＝x+y+x﹣y＝x+x＝1+，
解得：x＝1，
∴OA＝2；
故答案为：2．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A（n，0）是x轴上一点，点B（0，m）是y轴上一点，且满足多项式（x+m）（nx﹣2）的积中x的二次项与一次项系数均为2．
（1）求出A，B两点坐标．
（2）如图1，点M为线段OA上一点，点P为x轴上一点，且满足BM＝MN，∠NAP＝45°，证明：BM⊥MN．
（3）如图2，过O作OF⊥AB于F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBM，连接AM交OF于点N，试探究：在线段AF，AN，MN中，哪条线段等于AM与ON差的一半？请写出这个等量关系并证明．
【解答】（1）解：∵（x+m）（nx﹣2）＝nx2+（mn﹣2）x﹣2m，
∴n＝2，mn﹣2＝2，
∴m＝2，
∴点A（2，0）、点B（0，2）；
（2）证明：在y轴上截取一点C，使OM＝OC，过B作BD⊥MC于M，过A作AE⊥CM于E，如图1所示：
则△COM是等腰直角三角形，
∴∠OCM＝∠DCB＝∠OMC＝∠EMA＝45°，
∴△BDC和△AEM都是等腰直角三角形，
∴∠MAE＝45°，
∵∠NAP＝45°，
∴N、A、E三点共线，
由（1）得：OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，BC＝AM，
∴∠AOB＝∠OBA＝45°，
在△BDC和△AEM中，，
∴△BDC≌△AEM（ASA），
∴BD＝ME，
在Rt△BDM和Rt△MEN中，，
∴Rt△BDM≌Rt△MEN（HL），
∴∠BMD＝∠MNE，
∵∠MNE+∠NME＝90°，
∴∠BMD+∠NME＝90°，
∴∠BMN＝180°﹣90°＝90°，
∴BM⊥MN；
（3）解：AN＝（AM﹣ON）；理由如下：
在AM上截取一点C使CM＝ON，连接BC，延长BC交x轴于D，如图2所示：
∵△OBM是等边三角形，
∴OB＝OM＝BM，∠BOM＝∠BMO＝∠OBM＝60°，
∴∠MOA＝∠BOM+∠BOA＝60°+90°＝150°，
∴∠MOD＝30°，
∵OB＝OA，
∴OM＝OA＝BM，
∴∠OMA＝∠OAM＝∠MOD＝15°，
∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，
∵OF⊥AB，
∴∠FOA＝45°，
∴∠AON＝∠BMC，
在△OAN和△BMC中，，
∴△OAN≌△BMC（SAS），
∴AN＝BC，∠OAN＝∠MBC＝15°，
∴∠OBD＝60°﹣15°＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴AN＝BC＝AC＝（AM﹣CM）＝（AM﹣ON）．
