140分.
一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透
过的气体分子数d
PSt
k N ∆=，其中t 为渗透持续时间，S 为薄膜
的面积，d 为薄膜的厚度，P ∆为薄膜两侧气体的压强差．k 称为
该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材
料的气密性能愈好．
图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意
图．EFGI 为渗透室，U 形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U 形管内横截面积A ＝0.150cm 2．实验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm ，再将薄膜固定于图中C C '处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积30cm 00.25=V ，下面部分连同U 形管左管水面以上部分的总容积为V 1，薄膜能够透气的面积S
=1.00cm 2．打开开关K 1、K 2与大气相通，大气的压强P 1＝1.00atm ，此时U 形管右管中气柱长度cm 00.20=H ，31cm 00.5=V ．关闭K 1、K 2后，打开开关K 3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强atm 00.20=P ，关闭K 3并开始计时．两小时后， U 形管左管中的水面高度下降了cm 00.2=∆H ．实验过程中，始终保持温度为C 0 ．求该薄膜材料在C 0 时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值P ∆来代替公式中的P ∆．普适气体常量R = 8.31Jmol -1K -1，1.00atm = 1.013×105Pa ）．
第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷
二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度R GM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）
三、(15分)μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s 100.26
0-⨯≈τ．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v = 0.99c 的速度（c 为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N (0), t 时刻剩余的粒子数为N (t )，则有()()τt N t N -=e 0，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h ．不考虑重力和地磁场对μ子运
动的影响．
四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h ）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为α =arctan ()41的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h 、半径为r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、
组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S 2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S 2为 L = 12.0 h 处的P 点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）
1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．
S
五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R ，在空腔内一直径上的P 1和P 2处，放置电量分别为q 1和q 2的点电荷，q 1＝q 2＝q ，两点电荷到球心的距离均为a ．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q ．空腔内部的电场是由q 1、q 2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想
将整个导体壳去掉，由q 1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷1
q '与q 1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q 2在原
空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷2
q '与q 2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的
假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是
唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷1
q '、2q '和q 1、q 2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强． 1．试根据上述条件，确定假想等效电荷1
q '、2q '的位置及电量． 2．求空腔内部任意点A 的电势U A ．已知A 点到球心O 的距离为r ，OA 与1OP 的夹角为θ ．
六、(20分)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为π-α ，α < π/2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．
七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂
直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L ．今对金属杆ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速0v ．设导轨足够长，0x 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距0x ，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L 是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置x ab 和x cd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i 三者各自随时间t 的变化关系．
第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U 形管右管中空气的体积和压强分别为 V 2 = HA （1）
p 2= p 1
经过2小时，U 形管右管中空气的体积和压强分别为
A H H V )(2∆-='
（2）
22
22
V V p p '
=' （3）
渗透室下部连同U 形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 HA
V V ∆+='11 （4）
H g p p Δ22
1ρ+'=
（5）
式中ρ 为水的密度，g 为重力加速度．由理想气体状态方程nRT pV =可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
RT
V p RT V p n 1111
-
''=
∆ （6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
A nN N ∆=
（7）
式中N A 为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了∆p
V ΔnRT
p =
∆ （8）
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
p p p ∆-='00
（9）
测试过程的平均压强差
[])(2
1
10
10p p ()p p p '-'+-=∆ （10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
11111s m Pa 104.2---⨯=∆=
tS
p Nd k
（11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O 处，设待测量星体位于C 处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A 时，另一个卫星恰好到达远地点B 处，只要位于A 点的卫星用角度测量仪测出AO 和AC 的夹角α1，位于B 点的卫星用角度测量仪测出BO 和BC 的夹角α2，就可以计算出此时星体C 与地心的距离OC ． 因卫星椭圆轨道长轴的长度
远近＋r r AB =
(1)
式中r 近、与r 远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
远远近近＝r m r v mv (2)
式中m 为卫星的质量．由机械能守恒
远
远近近－－r GMm m r GMm m 222121v v = (3) 已知
R r 2＝近， R
GM
43＝
近v
得 R r 6=远
(4) 所以
R R R AB 862=+=
(5)
在△ABC 中用正弦定理 ()
AB
BC 211πsin sin ααα--=
(6)
所以
()
AB BC 211
sin sin ααα+=
(7)
地心与星体之间的距离为OC ，在△BOC 中用余弦定理
22
2
2
cos 2αBC r BC r OC ⋅-+=远远
(8)
由式(4)、(5)、(7)得
()
()
212
1212
1
2sin cos sin 24
sin sin 16
92ααααααα+-++=R OC
(9)
评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因μ子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
s 100.260-⨯≈τ
根据时间膨胀效应，在地球上观测到的μ子平均寿命为τ，
()
2
1c v -=
ττ (1
)
代入数据得 τ = 1.4×10－5s
(2)
相对地面，若μ子到达地面所需时间为t ，则在t 时刻剩余的μ子数为
()()τt N t N -=e 0
(3)
根据题意有
()()
%5e 0==-τt N t N (4)
对上式等号两边取e 为底的对数得
100
5ln
τ-=t (5)
代入数据得
s 1019.45-⨯=t
(6)
根据题意，可以把μ子的运动看作匀速直线运动，有
t h v =
(7)
代入数据得
m 1024.14⨯=h (8)
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z 轴，三个光心O 1、O 2、O 3的连线平行于3个光源
的连线，O 2位于z 轴上，如图1所示．图中M M '表示组合透镜的平面，1
S '、2S '、3S '为三个光束中心光线与该平面的交点． 22O S ＝ u 就是物距．根据透镜成像公式
f
u L u 1
11=-+ (1) 可解得
]4[2
1
2fL L L u -±=
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2u tan α ≤h 即u ≤2h ．在上式中取“－”号，代入f 和L 的值，算得
h u )236(-=≈1.757h (2)
此解满足上面的条件．
分别作3个点光源与P 点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P 点，3个透镜的光心O 1、O 2、O 3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 h h h L u L O O O O 854.0)24
1
21(3221≈+=-=
=
(3)
即光心O 1的位置应在1
S '之下与1S '的距离为
h O O h O S 146.02111=-=' (4)
同理，O 3的位置应在3
S '之上与3S '的距离为0.146h 处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h ，才能使S 1、S 2、S 3都能成像于P 点． 2．现在讨论如何把三个透镜L 1、L 2、L 3加工组装成组合透镜． 因为三个透镜的半径r = 0.75h ，将它们的光心分别放置到O 1、O 2、O 3处时，由于21O O ＝32O O ＝0.854h <2r ，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．
图2画出了L 1、L 2放在M M '平面内时相互交叠的情况（纸面为M M '平面）．图中C 1、C 2
表示L 1、L 2的边缘，1
S '、2S '为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2分别为C 1、C 2与O 1O 2的交点．
1
S '为圆心的圆1和以2S '（与O 2重合）为圆心的圆2分别是光源S 1和S 2投射到L 1和L 2时产生的光斑的边缘，其半径均为
h u 439.0tan ==αρ (5) 根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K 点（见图2）是否落在L 1上？由几何关系可知
()h r h h S O K O 75.0585.0146.0439.01
11=<=+='+=ρ (6) 故从S 1发出的光束能全部进入L 1．为了保证全部光束能进
入透镜组合，对L 1和L 2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．
下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O 1和
O 2之间作垂直于O 1O 2且分别与圆1和圆2相切的切线Q Q '
和N N '．若沿位于Q Q '和N N '之间且与它们平行的任意直线T T '对透镜L 1和L 2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L 2的下半部和L 3进行切割，然后将L 2的下半部和L 3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S 1、S 2、S 3发出的全部光线都会聚到P 点．
现在计算Q Q '和N N '的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L 1被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 1，透镜L 2被切去部分沿O 1O 2方向的长度为x 2，如图2所示，则对任意一条切割线T T '， x 1、x 2之和为
h O O r x x d 6.022121=-=+=
（7）
由于T T '必须在Q Q '和N N '之间，从图2可看出，沿Q Q '切割时，x 1达最大值(x 1M )，x 2达最小值(x 2m )，
ρ-'+=11
1O S r x M 代入r ，ρ 和11
O S '的值，得
h x M 457.01=
(8) 代入(7)式，得
h x d x M m 1.012=-=
(9)
由图2可看出，沿N N '切割时，x 2达最大值(x 2M )，x 1达最小值(x 1m )，
ρ-=r x M 2 代入r 和ρ 的值，得
h h
图2
h x M 311.02=
(10) h x d x M m 335.021=-=
（11） 由对称性，对L 3的加工与对L 1相同，对L 2下半部的加工与对上半部的加工相同．
评分标准：
本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O 1O 2=O 1O 2=0.854h ，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法Ⅰ：
如图1所示，S 为原空腔内表面所在位置，1
q '的位置应位于1OP 的延长线上的某点B 1处，2
q '的位置应位于2OP 的延长线上的某点B 2处．设A 1为S 面上的任意一点，根据题意有 0111111='+B A q k
P A q k
(1)
02
12
2
12='+B A q k
P A q k (2)
怎样才能使 (1) 式成立呢？下面分析图1中11A OP ∆与11B OA ∆的关系．
若等效电荷1q '的位置B 1使下式成立，即
211R OB OP ＝⋅
(3) 即
1
11
1OB OA OA OP =
(4)
则
1111B OA A OP ∽△△
有
R
a
OA OP B A P A =
=
1
11
111 (5)
由 (1)式和 (5)式便可求得等效电荷1
q '
11
q a
R
q -=' (6)
由 (3) 式知，等效电荷1
q '的位置B 1到原球壳中心位置O 的距离
a
R OB 2
1= (7)
同理，B 2的位置应使2112B OA A OP ∽△△，用类似的方法可求得等效电荷
B 2
1
22
q a
R
q -=' (8)
等效电荷2
q '的位置B 2到原球壳中心O 位置的距离 a
R OB 2
2= (9)
解法Ⅱ：
在图1中，设111r P A =，111r B A '=，d OB =1．根据题意，1q 和1
q '两者在A 1点产生的电势和为零．有
011
11='
'+r q k r q k （1＇）
式中
21221)cos 2(θRa a R r -+=
（2＇）
21221)cos 2(θRd d R r -+='
（3＇）
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
)cos 2()cos 2(222
1
2221θθRa a R q Rd d R q -+'=-+ （4＇）
（4＇）式是以θcos 为变量的一次多项式，要使（4＇）式对任意θ均成立，等号两边的相应系
数应相等，即
)()(222
1
2221a R q d R q +'=+ （5＇）
a q d q 2
121'= （6＇）
由（5＇）、（6＇）式得
0)(2222=++-aR d R a ad
（7＇） 解得
a
R a R a d 2)
()(2222-±+=
（8＇）
由于等效电荷位于空腔外部，由（8＇）式求得 a
R d 2
= （9＇）
由（6＇）、（9＇）式有
2
1222
1
q a
R q =' （10＇）
考虑到（1＇）式，有
11
q a
R
q -='
（11＇）
同理可求得
a
R OB 2
2= （12＇）
22
q a
R
q -=' （13＇）
2．A 点的位置如图2所示．A 的电势由q 1、1
q '、q 2、2q '共同产生，即
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-
+-=A B a R A P A B a R A P kq U A 2211
1111 (10)
因
2
21cos 2a ra r A P +-=θ
2
222
1cos 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=a R a
R r r A B θ 2
2
2cos 2a ra r A P ++=θ 2
222
2cos 2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=a R a
R r r A B θ 代入 (10) 式得
⎝⎛+--+-=4
22222cos 2cos 21R raR r a R
a
ra r kq U A θθ
⎪
⎪⎭
⎫
++-
+++
42222
2
cos 2cos 21
R raR r a R
a
ra r θθ (11)
评分标准：
本题20分．第1问18分，解法Ⅰ中(1)、(2)、(6)、(7)、(8)、(9) 式各3分．解法Ⅱ的评分可参考解法Ⅰ．
第2问2分，即(11)式2分．
六、令I 表示题述极短时间∆t 内挡板对C 冲量的大小，因为挡板对C 无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE ，如图所示；I '表示B 、C 间的杆对B 或C 冲量的大小，
图2
其方向沿杆方向，对B 和C 皆为推力；C v 表示∆t 末了时刻C 沿平行于DE 方向速度的大小，
B v 表示∆t 末了时刻B 沿平行于DE 方向速度的大小，⊥B v 表示∆t 末了时刻B 沿垂直于DE 方
向速度的大小．由动量定理， 对C 有
C m I v ='αsin
(1) v m I I ='-αcos (2) 对B 有
B m I v ='αsin
(3)
对AB 有
()⊥-='B m I v v 2cos α (4)
因为B 、C 之间的杆不能伸、缩，因此B 、C 沿杆的方向的分速度必相等．故有
αααsin cos sin B B C v v v -=⊥
(5)
由以上五式，可解得
v m I α
α22sin 31sin 3++=
(6)
评分标准：
本题20分． (1)、(2)、(3)、(4)式各2分． (5)式7分，(6)式5分．
七、解法Ⅰ：
当金属杆ab 获得沿x 轴正方向的初速v 0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab 的安培力将使ab 杆减速，作用于cd 杆的安培力使cd 杆运动．
设在任意时刻t ，ab 杆和cd 杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），当v 1、v 2为正时，表示速度沿x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势
()21v v -=Bl E
(1)
当回路中的电流i 随时间的变化率为t i ∆∆时，回路中的自感电动势
t
i L
L ∆∆-=E (2)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
0=+L E E
(3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为V C ，有
C mV m 20=v
(4)
得
2
v =
C V (5)
V C 方向与v 0相同，沿x 轴的正方向．
现取一新的参考系S '，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O '，取坐标轴x O ''与x 轴平行．设相对S '系，金属杆ab 的速度为u ，cd 杆的速度为u '，则有 u V C +=1v (6)
u V C '+=2v
(7)
因相对S '系，两杆的总动量为零，即有 0='+u m mu (8)
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得
t
i L Blu ∆∆=2 (9)
在S '系中，在t 时刻，金属杆ab 坐标为x '，在t ＋∆t 时刻，它的坐标为x x '∆+'，则由速度的定义
t
x u ∆'
∆=
(10)
代入 (9) 式得 i L x Bl ∆='∆2
(11)
若将x '视为i 的函数，由（11）式知i x ∆'∆为常数，所以x '与i 的关系可用一直线方程表示
b i Bl
L
x +=
'2 (12)
式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0时刻，金属杆ab 在S '系中的坐标x '＝02
1
x ，这时i = 0，故得
02
12x i Bl L x +=' (13)
或
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'=
0212x x L Bl i (14)
021x 表示t ＝0时刻金属杆ab 的位置．x '表示在任意时刻t ，杆ab 的位置，故⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-'021x x 就是杆ab 在t 时刻相对初始位置的位移，用X 表示，
02
1
x x X -'= (15)
当X >0时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当X <0时，ab 杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得
X L
Bl
i 2=
(16)
这时作用于ab 杆的安培力
X L
l B iBl F 2
22-=-=
(17)
ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期
(
)
L
l B m
T 2
22π
2= (18)
在任意时刻t ， ab 杆离开其初始位置的位移
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=ϕt T A X π2cos
(19)
A 为简谐振动的振幅，ϕ 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab 杆的振动速度
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕt T T A u π2sin π2 (20)
(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t ＝0时刻，
ab 杆位于初始位置，即
X = 0 速度
00002
121v v v v =-
=-=C V u 故有
ϕcos 0A =
ϕsin π220⎪⎭
⎫
⎝⎛-=T A v 解这两式，并注意到(18)式得
2π3=ϕ
(21)
2
2400mL
Bl
T A v
v ==
π (22)
由此得ab 杆的位移
t T
mL Bl t T
mL Bl
X π
2sin 222π3π
2cos 2200v v =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
（23）
由 (15) 式可求得ab 杆在S '系中的位置
t T
mL Bl x x π
2sin 2221
00ab
v +=' (24)
因相对质心，任意时刻ab 杆和cd 杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在S '系中，cd 杆
的位置
t T
mL Bl x x π
2sin 2221
00cd
v --=' (25)
相对地面参考系S ，质心以02
1
v =C V 的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab 杆在地面参考系中的位置
t mL Bl mL Bl
t x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++
=2sin 2221
000ab v v (26)
cd 杆在S 系中的位置
t mL Bl mL Bl
t x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
2sin 2221
00cd v v （27）
回路中的电流由 (16) 式得
t mL Bl L m t T mL Bl
L Bl i ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==
2sin 2π2sin 22200
v v (28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab 杆的速度改变，使cd 杆运动．设任意时刻t ，两杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为
()21v v -=Bl E
(1’)
令u 表示ab 杆相对于cd 杆的速度，有
Blu L =E
(2’)
当回路中的电流i 变化时，回路中有自感电动势E L ，其大小与电流的变化率成正比，即有
t
i L
L ∆∆-=E (3’)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
0=+L E E
由式(2’)、(3’)两式得
t
i L Blu ∆∆= (4’)
设在t 时刻，金属杆ab 相对于cd 杆的距离为x '，在t ＋∆t 时刻，ab 相对于cd 杆的距离为x '＋x '∆，则由速度的定义，有
t
x u ∆'
∆=
(5’)
代入 (4') 式得 i L x Bl ∆='∆
(6’)
若将x '视为i 的函数，由(6’)式可知，i x ∆'∆为常量，所以x '与i 的关系可以用一直线方程表示，即
b i Bl
L
x +=
' (7’)
式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0时刻，金属杆ab 相对于cd 杆的距离为0x ，这时i = 0，故得
0x i Bl L
x +=' (8’) 或 ()0x x L
Bl
i -'=
(9’)
0x 表示t ＝0时刻金属杆ab 相对于cd 杆的位置．x '表示在任意时刻t 时ab 杆相对于cd 杆的位置，故()0x x -'就是杆ab 在t 时刻相对于cd 杆的相对位置相对于它们在t ＝0时刻的相对位置的位移，即从t ＝0到t ＝t 时间内ab 杆相对于cd 杆的位移
0x x X -'= (10') 于是有
X L
Bl
i =
(11’)
任意时刻t ，ab 杆和cd 杆因受安培力作用而分别有加速度a ab 和a cd ，由牛顿定律有
ab ma iBl =- (12’)
cd ma iBl =
(13’)
两式相减并注意到(9')式得
()X L
l B iBl a a m 2
2cd ab
22-=-=-
(14’)
式中()cd ab a a -为金属杆ab 相对于cd 杆的加速度，而X 是ab 杆相对cd 杆相对位置的位
移．L
l B 2
22是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期
(
)
L
l B m
T 222π
2=
(15’)
在任意时刻t ，ab 杆相对cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=ϕt T A X π2cos
(16’)
A 为简谐振动的振幅，ϕ 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X 随时间的变化率即
速度
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕT T A V π2sin π2
(17’)
现已知在t ＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度0v =V 故有
ϕcos 0A =
ϕsin π20⎪⎭
⎫
⎝⎛-=T A v
解这两式，并注意到(15’) 式得
2π3=ϕ
2
π200mL
Bl
T A v v ==
由此得
t mL Bl mL Bl t T
mL Bl
X ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
2sin 22π3π
2cos 200v v (18’)
因t = 0时刻，cd 杆位于x = 0 处，ab 杆位于x = x 0 处，两者的相对位置由x 0表示；设t 时刻，
cd 杆位于x = x cd 处，ab 杆位于x = x ab 处，两者的相对位置由x ab －x cd 表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为 X = x ab －x cd －x 0 (19’)
所以
t mL Bl mL Bl
x x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-2sin 20
0cd ab v
(20’)
(12’)和(13’)式相加, ()0cd ab =+-=+iBl iBl a a m
得
()0cd ab =+a a
由此可知，两杆速度之和为一常数即v 0，所以两杆的位置x ab 和x cd 之和应为
x ab ＋x cd = x 0＋v 0t (21’)
由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得
t mL Bl
mL Bl t x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin 2221000ab v v （22’）
t mL Bl mL Bl
t x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
2sin 2221
00cd v v （23’）
由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流
t mL Bl
L m i ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2sin 20
v （24’）
评分标准：本题25分．
解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．
解法Ⅱ的评分可参照解法Ⅰ评分标准中的相应式子给分．下载本文
