高考试题
考点一 利用基本不等式证明
1.(2012年福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( )
(A)lg(x2+)>lg x(x>0)
(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:对于选项A,显然x=时,不成立;
对于选项B,当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故选项B不正确;
对于选项C,由基本不等式得x2+1≥2|x|(x∈R),选项C正确;
对于选项D,因x2+1≥1,所以≤1.故选C.
答案:C
2.(2011年上海卷,理15)若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
(A)a2+b2>2ab (B)a+b≥2
(C)+> (D)+≥2
解析:对于选项A,a2+b2≥2ab,所以选项A错;
对于选项B、C,虽然ab>0,只能说明a、b同号,若a、b都小于0时,选项B、C错;
对选项D,∵ab>0,∴>0,>0,则+≥2.
故选D.
答案:D
考点二 利用基本不等式求最值
1.(2013年重庆卷,理3)(-6≤a≤3)的最大值为( )
(A)9 (B) (C)3 (D)
解析:法一 由-6≤a≤3,得3-a≥0,a+6≥0,
所以≤=,
当且仅当3-a=a+6,
即a=-时取等号.
故选B.
法二 y=(3-a)(a+6)=-a2-3a+18
=-(a+)2+,
当且仅当a=-时y取最大值.
所以的最大值为.故选B.
答案:B
2.(2011年重庆卷,理7)已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)5
解析:∵a>0,b>0,a+b=2,
∴=1.
y=(+)·
=(1+4++)
=(5++)
≥(5+2)
=(当且仅当a=,b=时取“=”).
故选C.
答案:C
3.(2012年湖南卷,理8)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为( )
(A)16 (B)8
(C)8 (D)4
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
由|log2x|=m,
得x1=2-m,x2=2m,
|log2x|=,
得x3=,x4=,
则=
=·2m
=≥
=8.
当且仅当m=时,等号成立.故选B.
答案:B
4.(2010年重庆卷,理7)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解析:∵2xy=8-(x+2y),
故8-(x+2y)≤()2,
∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,
解得x+2y≥4或x+2y≤-8(舍去),
∴x+2y的最小值为4.
故选B.
答案:B
5.(2013年天津卷,理14)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.
解析:由a+b=2,b>0,
则+=+=++,
由a≠0,若a>0,
则原式=++≥+2=,
当且仅当b=2a=时等号成立,
若a<0,
则原式=---≥-+2
=,
当且仅当b=-2a即a=-2,b=4时等号成立,
综上得当a=-2时,+取得最小值.
答案:-2
6.(2011年湖南卷,理10)设x、y∈R,且xy≠0,则
(x2+)(+4y2)的最小值为 .
解析:因为x、y∈R,且xy≠0,
所以x2y2>0.
所以(x2+)(+4y2)=1+4x2y2++4≥5+2=9,当且仅当4x2y2=,即x2y2=时等号成立.
答案:9
考点三 利用不等式求参数的取值范围
1.(2012年浙江卷,理17)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a= .
解析:设f(x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1,
易知f(x)与g(x)都过点(0,-1),
∴f(x)与g(x)在(0,+∞)同正同负,
∴a-1>0且g()=0,
∴有-a()-1=0,
化简得2a2-3a=0,
∴a=,a=0(舍去).
答案:
2.(2010年山东卷,理14)若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是 .
解析:因为x>0,
所以x+≥2(当且仅当x=1时取等号),
所以有=≤=,
即的最大值为,故a≥.
答案:[,+∞)
3.(2010年天津卷,理16)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:依据题意得-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在x∈[,+∞)上恒成立,
即-4m2≤--+1在x∈[,+∞)上恒成立.
当x=时,函数y=--+1取得最小值-,
所以-4m2≤-,
即(3m2+1)(4m2-3)≥0,
解得m≤-或m≥.
答案:(-∞,- ]∪[,+∞)
4.(2010年湖南卷,理20)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f'(x)≤f(x).
(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(2)若对满足题设条件的任意b、c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
(1)证明:易知f'(x)=2x+b.
由题设知对任意x∈R,
2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,
则(b-2)2-4(c-b)≤0,
从而c≥+1,
于是c≥1,且c≥2=|b|,
因此2c-b=c+(c-b)>0.
故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0,
即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2.
(2)解:由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有M≥==.
令t=,则-1 当c=|b|时,由(1)易知b=±2,c=2. 此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0, 从而f(c)-f(b)≤(c2-b2). 综上所述,M的最小值为. 5.(2013年安徽卷,理21)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由和张老师负责,已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设和张老师分别将各自活动通知的信息、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1)求该系学生甲收到或张老师所发活动通知信息的概率; (2)求使P(X=m)取得最大值的整数m. 解:(1)因为事件A:“学生甲收到所发信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互的事件,所以与相互. 由于P(A)=P(B)== , 故P()=P()=1-, 因此学生甲收到活动通知信息的概率 P=1-(1-)2=. (2)当k=n时,m只能取n,有P(X=m)=P(X=n)=1. 当k 当k≤m 当(k+1)2不能被n+2整除时,P(X=m)在m=2k-[]处取得最大值.(注:[x]表示不超过x的最大整数) 下面证明k≤2k- 故2k- 1.(2013年山东卷,理12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( ) (A)0 (B)1 (C)(D)3 解析:由x2-3xy+4y2-z=0(x,y,z>0), 得3xy+z=x2+4y2≥2x·2y, 即xy≤z,≤1当且仅当x=2y时等号成立, 当x=2y时,z=4y2-6y2+4y2=2y2. 则+-=+-=-+ =-(-) =-(-1)2+1. 故当=1,即y=1时,+-的最大值为1. 故选B. 答案:B 2.(2010年湖北卷,理15)设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于点D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数. 解析:在Rt△ABD中DC为高, 则由射影定理可得CD2=AC·CB, 故CD=, 即CD的长度为a,b的几何平均数, 将OC=a-=, CD=,OD=代入OD·CE=OC·CD中可得 CE=, 故OE==, 所以ED=OD-OE=, 故DE的长度为a,b的调和平均数. 答案:CD DE 3.(2013年湖南卷,理20)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心. (1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 解:(1)设点P的坐标为(x,y). (1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. ①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3| ≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立. 又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**) 当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立, 所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d2(y)=2|y|+|y-20|≥21, 当且仅当y=1时,等号成立. 故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y≤1时, 由于“L路径”不能进入保护区, 所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24, 故d1(x)+d2(y)≥45, 当且仅当x=3,y=1时等号成立. 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小. 模拟试题 考点一 利用基本不等式证明 1.(2013北京丰台区期末)“x>0”是“x+≥2”的( ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:当x>0时,x+≥2=2. 因为x,同号, 所以若x+≥2,则x>0, >0. 所以x>0是x+≥2成立的充要条件.选C. 答案:C 2.(2012东城区二模)设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+b)(+)≥4 (B)lg+lg≥2 (C)a2+b2+2≥2a+2b (D)≥- 解析:∵(a+b)(+)≥2·2=4. 当且仅当a=b时,等号成立, ∴选项A成立; ∵a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0, ∴选项C成立; 对于选项D,如果a 2(-)≤0, 而2(-)≤0成立,故选项D也成立. 对于选项B,显然当0<<1时不成立. 故选B. 答案:B 考点二 利用基本不等式求最值 1.(2012郑州质检)若a>b>0,则代数式a2+的最小值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:a2+≥a2+=a2+≥4, 当且仅当 即a=,b=时,等号成立.故选C. 答案:C 2.(2012武汉质检)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( ) (A) (B) (C)2 (D)1 解析:已知双曲线的离心率是2, 故2===, 解得=, 所以==a+≥,当且仅当a2=时等号成立,故最小值是. 故选A. 答案:A 考点三 含参数的不等式的恒成立问题 1.(2012哈师大附中月考)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为( ) (A)1 (B) (C)2 (D) 解析:由2x+=2(x-a)+ +2a ≥2+2a =4+2a≥7, 得a≥,故实数a的最小值为. 故选B. 答案:B 2.(2013昆明一中检测)已知m>0,a1>a2>0,则使得≥|aix-2|(i=1,2)恒成立的x的取值范围是( ) (A)[0,] (B)[0,] (C)[0,] (D)[0,] 解析:=m+≥2, 所以要使不等式恒成立, 则有2≥|aix-2|(i=1,2)恒成立, 即-2≤aix-2≤2, 所以0≤aix≤4, 因为a1>a2>0, 所以 即0≤x≤, 所以使不等式恒成立的x的取值范围是[0,].故选C. 答案:C 考点四 不等式的综合应用 1.(2013北京东城区期末)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是 . 解析:设原价为1,则提价后的价格: 方案甲:(1+p%)(1+q%), 乙:(1+%)2, 因为≤+=1+%, 因为p>q>0,所以<1+%, 即(1+p%)(1+q%)<(1+%)2, 所以提价多的方案是乙. 答案:乙 2.(2011十堰二模)设M是△ABC内一点,且·=2,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积,若f(M)=(,x,y),则+的最小值是 . 解析:根据题意·=||||cos∠BAC=2, 可得||||=4, 所以S△ABC=||||sin∠BAC=×4×=1, 则+x+y=1, 即x+y=, 所以+=2(x+y)·(+) =2(1+4++) ≥2×(5+4)=18. 当且仅当=, 即x=,y=时取等号. 答案:18 综合检测 1.(2013昆明三中模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则+的最小值为( ) (A) (B) (C)+ (D) +2 解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4, 所以圆心坐标为(-1,2),半径为r=2. 因为直线被圆截得的弦长为4, 所以直线ax-by+2=0过圆心, 所以-a-2b+2=0,即a+2b=2, 所以+b=1,所以+=(+)(+b) =+1++ ≥+2 =+. 当且仅当=,即a2=2b2,a=b时取等号, 所以+的最小值为+.故选C. 答案:C 2.(2012年高考重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( ) (A)1+ (B)1+ (C)3 (D)4 解析:当x>2时,x-2>0, f(x)=x-2++2≥2+2=4, 当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号, 即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3. 故选C. 答案:C 3.(2011宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是 . 解析:由x>0,y>0,xy=x+2y≥2, 得xy≥8, 于是由m-2≤xy恒成立, 得m-2≤8,m≤10,故m的最大值为10. 答案:10下载本文
