一、选择题：
1．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( B )
A. B. C. D.
2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是( A )
A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1
4．我们把离心率为e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
解析：①e＝＝＝＝，双曲线是黄金双曲线．
②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝，双曲线是黄金双曲线．
③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．
④∵|MN|＝，由射影定理知|OF2|2＝|MF2|·|F2N|，即c2＝，从而b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．
答案：D
5．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( C )
A．28 B．14－8 C．14＋8 D．8
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．[1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：依题意，应有≥tan60°，又＝，
∴≥，解得e≥2.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．已知点P是双曲线－＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝________.
解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，
|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a，
又|F1M|＋|F2M|＝2c，
解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，从而|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2.
答案：b2
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．[来源:学#科#网]
解析：∵e＝＝＝
＝＝1＋，
∵|PF2|>c－a，即e<1＋，
∴e2－2e－1<0.
又∵e>1，∴1 9．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，e＋e的最小值是________． 解析：∵e＝，e＝， ∴e＋e＝＋ ＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当a＝b时等号成立)． 答案：4 10．设F1和F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______． 解析：在△F1PF2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°， ∴|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|. 又|F1F2|2＝20，||PF1|－|PF2||＝4. ∴|PF1||PF2|＝4， ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝. 答案： 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程． 解：设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)．[来源:学.科.网] F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得： |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2. ∴|PF1|·|PF2|·sin＝2. ∴|PF1|·|PF2|＝8.[来源:学.科.网] ∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2. 又∵e＝＝2，∴a2＝. ∴双曲线的方程为：－＝1. 12．已知曲线C：＋x2＝1. (1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；[来源:Z|xx|k.Com] (2)如果直线l的斜率为，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程． 解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，[来源:学*科*网] 则F(x0,0)，∵， ∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)． ∴ 代入＋x＝1中，得＋x2＝1为P点的轨迹方程． 当λ＝时，轨迹是圆． (2)由题设知直线l的方程为y＝x－2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 消去y得：(λ＋2)x2－4x＋4－λ＝0. ∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0， ∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝， 而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋x1·x2＝3x1x2＝， ∴＝－，解得λ＝－14. ∴曲线C的方程是x2－＝1. 13．(2010·南昌调研试题)如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知 (1)求双曲线的离心率e； (2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若.求双曲线C的方程． 解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得． (1)由得，即△F1PF2为直角三角形．设＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝. (2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则＝x1x2－4x1x2＝－， 所以x1x2＝.① 由2即x＝，y＝；又因为点P在双曲线－＝1上，所以－＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求双曲线方程为－＝1.[来源:Z*xx*k.Com] 14（12分）已知点M在椭圆上，M垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且M为线段的中点，求点的轨迹方程 15(12分)椭圆的焦点分别是和，已知椭圆的离心率过中心作直线与椭圆交于A，B两点，为原点，若的面积是20，求：（1）的值（2）直线AB的方程下载本文
