055350 河北隆尧一中 焦景会
函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。
（2005年广东卷I）设函数，，且在闭区间［0，7］上只有。（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。
分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。
命题1 函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是或。
证明：设是上任一点，则。由P关于直线x＝a的对称点为。（必要性）若关于直线x＝a对称，则Q也在上，故，。（充分性略）。
推论 函数的图像关于y轴对称的充要条件是。
命题2 函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。证明（略）
推论 函数的图像关于原点O对称的充要条件是。
偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。
命题3 （1）若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
证明：函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则，，所以
，所以是它的一个周期。
（2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。
证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (m≠n)， 则 (1) ，
(2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)，
则有 ， ，则
， 所以是周期函数，周期为2(m-n)。
（3）若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
证明：因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称，
所以代得：
又因为函数的图像关于直线成轴对称，所以代入（*）得：
（**），用代 得
代入（**）得：，故是周期函数，且是其一个周期。
例1 定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数；B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数；D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
例2 设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为，所以也是的对称轴，故是以2为周期的周期函数，所以。
例3 函数的图像的一条对称轴的方程是（ ）
解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。
例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________
解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以
例5 已知定义在R上的单调函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2。
(1)求证：f(x)为奇函数；(2)当t>2时，不等式f(k·log2t)+f(log2t-logt-2)<0恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)令x=y=0f(0)=2f(0)f(0)=0，又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数.
(2)∵f(0)=0，f(1)=2，知f(x)在R上单调增，故由f(k·log2t)<-f(log2t-logt-2)得：k·log2t 链接练习 1 、f(x)是奇函数，当x∈R+时，f(x)∈(m<0)，则f(x)的值域可能是 ( ) A.［m，-m］ B. C. D.∪ 2、设f(x)是R上的奇函数，且x∈R+时，f(x)=log2(2x+1)，则当x∈R- 时，f(x)= ( ) A.log2(2x+1) B.-log2(2x+1) C.log2(1-2x) D.-log2(1-2x) 3、已知奇函数f(x)在区间［-b，-a］上单调减且最小值为2004，则g(x)=-|f(x)|在［a，b］上 ( ) A.单调减且最大值为-2004 B.单调增且最小值为-2004 C.单调减且最小值为-2004 D.单调增且最大值为-2004 4、已知f(x)=x3+bx2+cx是R上的奇函数，动点P(b，c)描绘的图形是 ( ) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线 5、若y=g(x)是偶函数，那么f1(x)=g(x)-1和f2(x)=g(x-1) ( ) A.都不是偶函数 B.都不是奇函数 C.都是偶函数 D.只有一个是偶函数 6、已知f(x)是R上的函数，，且f(1)=2008，， 则f(2008)= . 7、判断下列函数的奇偶性与周期性. (1) f(x)=log7(-x)；(2) f(x)=. 8、是否存在实数m，k，使下列函数都为奇函数，若存在，确定m或k值，若不存在，说明 理由. (1) f(x)=； (2) g(x)=loga (a>1). 9、已知函数f(x2-3)=loga(a>0，a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)解不等式：f(x)≥loga(2x). 10、 若f(x)=3x-3-x·log3a为奇函数，求实数a的值. 参 1、D 若x=0不在定义域内为∪［-m，+∞］，若x=0在定义域内为(-∞，m)∪∪{0}. 2、D 由x<0-x>0f(-x)=log2(1-2x)=-f(x)f(x)=-log2(1-2x). 3、A ∵f(x)在［-b，-a］上单调减，∴x∈［-b，-a］时，f(-b)≥f(x)≥f(-a)，∴f(-a)=2004，又∵f(x)为奇函数，故f(x)在［a，b］上单调减，由x∈［a，b］知f(b)≤f(x)≤f(a)，f(a)=-2004. 4、C 由f(x)=-f(-x)x3+bx2+cx=-(-x3+bx2-cx)b=0. 5、D f1(-x)=g(-x)-1为偶函数，f2(-x)=g(-x-1)=g(x+1)≠±f(x)故非奇非偶. 6、，T=6，f(2008)=f(4)=-f(1)=-2008. 7、 (1) x∈R，-x∈R，∵f(x)+f(-x)=0，∴f(x)是R上的奇函数，但不是周期函数. (2) 定义域为∪(0，1)且f(x)=，故为奇函数，但不是周期函数. 8、(1)令f(x)+f(-x)=0m=1. (2)由f(-x)=-f(x)loga(a>1)= -logak2x2=x2k2=1验证知k=-1. 9、(1) 令x2-3=tf(t)=loga(-3
