知识点1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.

知识点2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

知识点3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线相交于一点,,i j k ,,i j k O ，

且OA ＝OB ＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：

例1　如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于

18cm ，则AC 的长等于（　　）

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm 　　

D ．12cm

针对性练习：

已知1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=

2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是

例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

图1

图2

针对性练习：

已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线

例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。针对性练习：

1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD ＝AC ＋CD.

练习：

1.如图，AC =AD ，BC =BD ，则（ ）A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

3.下列命题中正确的命题有（ ）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P 在线段AB 外且PA =PB ，过P 作直线MN ，则MN 是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

5.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （ C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能二、填空题

（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.

（2）在中，AD 为角平分线，则有AD______BC （填或），_____. 如果E 为AD 上的一ABC ∆AC AB =⊥//=BD 点，

那么_______. 如果，那么点D 到AD 的距离是______.

=EB ︒=∠120BAC 8=BC （3）已知在中，DE 垂直平分AB ，且交CA 的延长线于D ，则的度数为ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC DBC ∠_______.

（4）在等腰三角形ABC 中，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，若的周长为，则 cm AC AB 8==BCD ∆cm 10 底边BC 的长为______.

（5）如图，在中，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E . ABC ∆︒=∠90ACB ①若，则______，________. ︒=∠60A =∠DCB =∠ADC ②若，则的周长为______.

︒=∠30B 5=BD ACD ∆（6）如图，在中，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，的周长为12，则

ABC ∆BC AC >8=AC BCE ∆B

A

C

O

N

_____.

=BC （7）如图，在中，DE 是AB 的垂直平分线，则_______. ABC ∆AC AB =︒=∠65ABC =∠CBE

5题图 6 题图 7 题图 8题图 9 题图

（8）如图，在中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，的周长为，则ABC ∆ABD ∆cm 12cm AC 5=的周长为_______.

ABC ∆cm （9）如图，已知在直角三角形ABC 中，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，则︒=∠90C ︒=∠15B 5=BE ______.

=AC （10）在中，AC 的垂直平分线交BC 于D ，交AC 于E ，若，则BC 的ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC cm DE 5=长度为______. cm 三．解答题

1.已知如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，求证：AO ⊥B C.

2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N . 求证：CM =2BM .

3. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.

4.如图，已知：线段CD 垂直平分AB ，AB 平分. 求证：.

DAC ∠BC AD

//

5.如图，已知：AD 是的高，E 为AD 上一点，且. 求证：是等腰三角形.

ABC ∆CE BE =ABC ∆

6.如图，已知：在中，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：.

ABC ∆A B AC AB ∠=∠=2,BC AD =

8如图，已知：E 是的平分线上的一点，垂足分别是C 、D. 求证：OE 垂直平分CD .

AOB ∠OA EC ⊥OB ED ⊥

9.如图，已知：在中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.

ABC ∆

10.如图，已知：AD 是的的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：ABC ∆BAC ∠.

CAF BAF ∠=∠

11.如图，已知：在中，的平分线交BC 于D ，且，垂足分别是E 、F . 求证：ABC ∆BAC ∠AB DE ⊥AC DF ⊥AD 是EF 的垂直平分线

.

12.如图，已知：，. 求证：.

BC AB ⊥BC CD ⊥︒=∠75AMB ︒=∠45DMC DM AM =BC AB

= 线段的垂直平分线与角平分线复习（2）

知识点4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：如图，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF⊥OA 于点C ，DF⊥OB 于点D ，则CF ＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

知识点5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角

平分线上.

定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC⊥OA 于C ，PD⊥OB 于D ，若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

知识点6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；

② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

知识点7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.经典例题：

例1、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF

例2、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC，求证：AE 平分∠BAD.

针对性练习：

如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。

E

例3、如图11-1，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，且∠BAD 与∠BCD 互补，求证：AD ＝CD.

练习

一．基础题

1．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线

QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是 ．

2．如图，在△ABC 中，∠B=300，∠C=900，AD 平分∠CAB，交CB 于D ，DE⊥AB 于E ，则∠BDE= =

．

3．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD= ．

4．如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD 的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于 ．

5．已知Rt△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D 到AB 边的距离为( )．

(A)18 (B)16 (c)14 (D)12

6．如图，MP⊥NP，MQ 为∠NMP 的角平分线，MT=MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是( )．

(A)TQ=PQ (B) ∠MQT=∠MQP (c) ∠QTN=900 (D)

∠NQT=∠MQT

8题图

A B

O

E

C D 7. △ABC 中，AB=AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB=2BC ，则腰长为________________。

8. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

9．如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．说明它的道理________________________________________________．

10．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R 、S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，下列结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是( )．

(A)①③ (B)②③ (C)①②

(D)①②③

11．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD⊥BC 且BD=CD ； ④∠BDE=∠CDF．其中正确的是

( )．

(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④

12．如图，在

Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠CAB=300，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB=(

)．(A)500 (B)450 (C)400 (D)350

13．如图，已知相交直线AB 和CD 及另一直线MN ．如果要在MN 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个．

二．解答题

1.已知：如图，∠B=∠C=900，DM 平分∠ADC ， AM 平分∠DAB 。求证： M B=MC

2.如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .

3．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ．求证：BE=CF

．

5．如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；

(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

6．如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．

7．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．

8．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．

9．如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．

10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．下载本文