数学试卷

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号涂黑）

1．若集合，，则等于               （   ）

A．        B．          C．          D． 

2．若函数（）是R上的奇函数，则等于（    ）

A．           B．           C．            D． 

3．函数的图象关于直线对称的充要条件是 （   ）

A．     B．         C．        D． 

4．已知向量，．若，则等于         （    ）

A．           B．           C．             D． 

5．若复数满足，则等于                      （    ）

A．         B．           C．         D． 

6．若直线过点且与直线平行，则的方程是 （    ）

A．               B． 

C．               D． 

7．若实数满足，则的取值范围是         （    ）

A．         B．          C．       D． 

8．设甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为，则方程有两个不相等实根的概率为 （   ）

A．              B．             C．            D． 

9．设双曲线（的虚轴长为，焦距为，则此双曲线的渐近线方程为                                     （   ）

A．      B．       C．       D． 

10．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ）

A．               B．  

C．               D．  

11．若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（   ）

A．        B．           C．         D． 

12．若过点的直线与圆：有公共点，则直线斜率的取值范围为                                                                   （    ）

A．    B．       C．     D． 

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13．               ．     

14．已知函数，则                 ．

15．用数字0，3，5，7，9可以组成       个没有重复数字的五位数（用数字作答）．

16．在中，               ．

17．设斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点．若（为坐标原点）的面积为，则此抛物线的方程为                   ．

18．若实数、满足，则的最小值为                 ．

三、解答题（本大题7小题，共78分）

19．（6分）设关于的不等式< 的解集为，求的值．

20．（10分） 已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，求的值．

21．（10分）已知数列{}的前项和为，．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设，求数列{}的前项和．

22．（10分）对于函数，若实数满足，则称是的一个不动点．  已知．

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）假设，求证：对任意实数，函数恒有两个相异的不动点．

23．（14分）甲、乙两位选手互不影响地投篮，命中率分别为与．假设乙投篮两次，均未命中的概率为．

（1）若甲投篮4次，求他恰命中次的概率；

（2）求乙投篮的命中率；

（3）若甲、乙两位选手各投篮1次，求两人命中总次数的概率分布与数学期望．

24．（14分）如图，在长方体中，，．

（1）证明：当点在棱上移动时，；

（2）当为的中点时，求①二面角的大小（用反三角函数表示）；

②点到平面的距离．

25．（14分）已知椭圆： 的离心率为，且该椭圆上的点到右焦点的最大距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为、，且过点的直线、与此椭圆的另一个交点分别为、，其中．求证：直线必过轴上一定点（其坐标与无关）．

江苏省2012年普通高校对口单招文化统考

数学试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

13．      14．      15．      16．      17．      18． 

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19．（本小题6分）

解：由题意得

         ，…………………………………………   1分

        ， ……………………………………    1分

            ，……………………… ………………   2分

  解得   ， …………………………………………………  1分

所以．    ……………………………………   1分

20．（本小题10分）

解：（1）由题意得

              …………………………………………  1分

             ，  …………………………………………………… 2分  所以函数的最小正周期．    …………………………… 1分

（2）由得

    ，  ………………………………  1分

           因为，所以，  ………  1分

    ，…………  1分

    从而

    ． ……… 3分

21．（本小题10分）

解：（1）当时， ，     ………    1分

           当时， 

                  ，  ……………………    2分

综合得  ， N+   ………………… 2分

        （2），   …………   1分

． ……………   4分

22．（本小题10分）

（1）解：由题意得

    ，  ……………………    1分

    即，解得，……      2分

    所以函数的不动点是和．     ……   1分

   （2）证明：由题意得

， ①      …………  1分

    即，            …………    1分

    因为判别式

         ………………    2分

    ，  ………………    1分

              所以方程①有两个相异的实根，

    即对任意实数，函数恒有两个相异的不动点． 1分

23．（本小题14分）

解：（1）记甲投篮4次，恰命中次的概率为，由题意得

 ．       ………………    4分

      （2）由题意得

，          ………………………    3分

    解得．          …………………………   1分

    （3）由题意可取，， ，        …………      1分

      ，

，

．

所以的概率分布列为

…………… 3分

．………………2分

24．（本小题14分）

（1）证明：连接．在长方体中，

因为，所以为正方形，

    从而．

    因为点在棱上，所以就是在平面上的射影，从而．       ………………   4分

（2）解：①连接．由题意知，． 

    在中，，

    在中，，

    从而，所以，

    又由面知，即，

    从而面，所以，

    因此是二面角的平面角．    2分

    在中，，

    得，

    即二面角的大小为．      3分

②设点到平面的距离为，

    由知，

    ．   ………………    1分

    因为，

    所以，

    即，所以，

    故点到平面的距离为．  ……………  4分

25．（本小题14分）

解：（1）设右焦点为，则由题意得

   ，           ………………………  2分

解得  ，所以，

椭圆的方程为． ………………… 2分

（2）由（1）知,

直线的方程为……………………1分

直线的方程为………………… 1分

设点的坐标为，点的坐标为，

由  ，          ……………… 1分

得，

由于  是直线与此椭圆的两个交点，

所以  ，

解得，从而．…………2分

由     ，      …… 1分

得，

由于是直线与此椭圆的两个交点，

所以  ，

解得，从而．… 2分

若，则由，得

此时，从而直线的方程为，它过点；

若，则，

直线的斜率，

直线的斜率，

得, 所以直线过点，

因此直线必过轴上的点．  …… 2分下载本文