[第14讲　直线与圆]

 (时间：30分钟)

1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)

A．－1  B．1  

C．3  D．－3

2．若直线l被圆C：x2＋y2＝2所截得的弦长不小于2，则直线l与下列曲线一定有公共点的是(　　)

A．(x－1)2＋y2＝1  B.＋y2＝1

C．y＝x2  D．x2－y2＝1

3．直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则·＝(　　)

A．2  B．－2  

C．4  D．－4

4．已知点A(－1，1)和圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0，一束光线从点A出发，经过x轴反射到圆周C的最短路程是(　　)

A．6  B．7  

C．8  D．9

5．圆心在曲线y＝x2(x<0)上，并且与直线y＝－1及y轴都相切的圆的方程是(　　)

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝2  

B．(x－1)2＋(y－2)2＝4

C．(x－2)2＋(y－1)2＝4  

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝4

6．直线tx＋y－t＋1＝0(t∈R)与圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系为(　　)

A．相交  B．相切

C．相离  D．以上都有可能

7．虚数z＝x＋yi(x，y∈R)，当|z|＝1时，x，y满足y－kx＋2k＝0，则k的取值范围为(　　)

A．－，  B．－，0∪0，

C．[－，]  D．[－，0)∪(0，]

8．若圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by－4＝0对称，则a2＋b2的最小值是(　　)

A．2  

B.  

C.  

D．1

9．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0与x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，ab≠0，则＋的最小值为(　　)

A.  

B.  

C．1  

D．3

10．已知点A(－2，0)，B(1，)是圆x2＋y2＝4上的定点，经过点B的直线与该圆交于另一点C，当△ABC面积最大时，直线BC的方程是________．

11．若自点P(－3，3)发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，则直线l的方程是________．

12．已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

专题限时集训(十四)B

【基础演练】

1．B　[解析] 因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，由直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心得：a＝1.

2．C　[解析] 当直线l被圆C：x2＋y2＝2所截得的弦长为2时，圆心到直线的距离为d＝＝1，所以原点到直线的距离不大于1，直线l与椭圆＋y2＝1一定有公共点．

3．A　[解析] 直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A(1，)，B(2，0)，·＝2.

4．C　[解析] 如图．易知最短距离过圆心，首先找出A(－1，1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，则最短距离为|O′A′|－r，又圆方程可化为：(x－5)2＋(y－7)2＝22，则圆心O′(5，7)，r＝2，则|O′A′|－r＝－2＝10－2＝8，即最短路程为8.

【提升训练】

5．D　[解析] 设圆心坐标为x， x2，据题意得x2＋1＝－x，解得x＝－2，此时圆心坐标为(－2，1)，圆的半径为2，故所求的圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4.

6．A　[解析] 圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心到直线的距离d＝≤1<3，故直线与圆相交，或者直线tx＋y－t＋1＝0(t∈R)过定点(1，－1)，该点在圆内．

7．B　[解析] 由|z|＝1得x2＋y2＝1，再由y－kx＋2k＝0可得k＝，因为z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，所以k为圆x2＋y2＝1(除去与x轴的交点)上的点和点(2，0)所连直线的斜率，如下图．

所以可求得k∈－，0∪0，，故选B.

8．A　[解析] 根据圆的几何特征，直线2ax＋by－4＝0过圆的圆心(1，2)，代入直线方程得a＋b＝2.

a2＋b2≥＝2，等号当且仅当a＝b＝1时成立．

9．C　[解析] 两圆有三条公切线，说明两圆外切．两个圆的方程分别为(x＋a)2＋y2＝22，x2＋(y－2b)2＝12，所以a，b满足＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝(a2＋4b2)＋＝5＋＋≥5＋2＝1，等号当且仅当a2＝2b2时成立．

10．x＝1　[解析] AB的长度恒定，故△ABC面积最大时，只需要C到直线AB的距离最大即可．此时，C在AB的中垂线上，AB的中垂线方程为y－＝－，代入x2＋y2＝4得C(1，－)，所以直线BC的方程是x＝1.

11．3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0　[解析] 方法1：设入射光线所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，则反射光线所在的直线的斜率k′＝－k，点P关于x轴的对称点P′(－3，－3)在反射光线所在的直线上，故反射光线所在的直线方程即为y＋3＝－k(x＋3)，该直线应与圆相切，故得＝1，所以12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.

所以所求的直线方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

方法2：设圆C关于x轴对称的圆为圆C′，则圆C′的圆心坐标为(2，－2)，半径为1.设入射光线所在的直线方程为y－3＝k(x＋3)，则该直线与圆C′相切，类似解法1同样可得直线l的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

12．4　[解析] 要使过点P的直线l与圆C的相交弦长最小，则需圆心C到直线l的距离最大，

当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，而当点P取的交点(1，3)时，|CP|取得最大值，此时|AB|取最小值，且|AB|min＝2＝4.下载本文