一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．
4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．
5．（5分）函数f（x）=的定义域为．
6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右
焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．
10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．
11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．
14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则成立的n的最小值为．
使得S n＞12a n
+1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．（10分）已知矩阵A=．
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
2018年江苏省高考数学试卷
参与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，
∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，
故答案为：{1，8}．
2．（5分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i•z=1+2i，
得z=，
∴z的实部为2．
故答案为：2．
3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．
【解答】解：根据茎叶图中的数据知，
这5位裁判打出的分数为、、90、91、91，
它们的平均数为×（++90+91+91）=90．
故答案为：90．
4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．
【解答】解：模拟程序的运行过程如下；
I=1，S=1，
I=3，S=2，
I=5，S=4，
I=7，S=8，
此时不满足循环条件，则输出S=8．
故答案为：8．
5．（5分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．
【解答】解：由题意得：≥1，
解得：x≥2，
∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．
【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，
共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，
（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，
则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，
故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，
故答案为：0.3
7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，
则φ的值为．
【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，
∴2×+φ=kπ+，k∈Z，
即φ=kπ﹣，
∵﹣φ＜，
∴当k=0时，φ=﹣，
故答案为：﹣．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右
焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．
【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线
y=x的距离为c，
可得：=b=，
可得，即c=2a，
所以双曲线的离心率为：e=．
故答案为：2．9．（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f
（x）=，则f（f（15））的值为．
【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，
则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，
f（）=cos（）=cos=，
即f（f（15））=，
故答案为：
10．（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的
体积为．
【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，
多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．
故答案为：．
11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．
【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），
①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；
②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，
∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，
又f（x）只有一个零点，
∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，
f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，
f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），
f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，
f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，
∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：
f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，
B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．
【解答】解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（，a），
则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．
联立，解得D（1，2）．
∴=．解得：a=3或a=﹣1．
又a＞0，∴a=3．
即A的横坐标为3．
故答案为：3．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．
【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，
即ac=a+c，
得+=1，
得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，
当且仅当=，即c=2a时，取等号，
故答案为：9．
14．（5分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n
成立的n的最小值为27．
+1
【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，
所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．
S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．
当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，
所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．
S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，
故答案为：27．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，
AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．
∴
⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．（14分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【解答】解：（1）由，解得，
∴cos2α=；
（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）==．
则tan（α+β）=．
∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．
17．（14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【解答】解：（1）S
=（40sinθ+10）•80cosθ
矩形ABCD
=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；
当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，
∴sinθ的取值范围是[，1）；
（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）
=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，
则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ
=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；
令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；
当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；
当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．
=800（4sinθcosθ+cosθ），
答：（1）S
矩形ABCD
S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
sinθ∈[，1）；
θ=时总产值y最大．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，
∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．
∵∴，又a2﹣b2=c2=3，
解得a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．
（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，
∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．
由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，
可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．
将k=﹣，m=3代入可得，
解得x=，y=1，故点P的坐标为（．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），
由⇒k＜﹣．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
|x2﹣x1|==，
O到直线l的距离d=，
|AB|=|x2﹣x1|=，
△OAB的面积为
S===，
解得k=﹣，（正值舍去），m=3．
∴y=﹣为所求．
19．（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．
（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；
（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，
则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；
（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，
由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，
f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；
（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），
由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，
由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，
令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），
设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），
则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，
则m（x）在（0，1）上有零点，
则h（x）在（0，1）上有零点，
则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．
20．（16分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．
【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，
∵a1=0，q=2，
∴，解得．即≤d≤．
证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，
若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，
则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），
即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），
∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），
∴b1≤0，＞0，
因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，
下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，
①当2≤n≤m时，﹣==，
当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，
从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，
因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，
故数列{}的最大值为．
②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，
∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，
当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，
因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，
故数列{}的最小值为，
∴d的取值范围是d∈[，]．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，
过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．
【解答】解：连接OC，
因为PC为切线且切点为C，
所以OC⊥CP．
因为圆O的半径为2，
所以BO=OC=2，
所以，
所以∠COP=60°，
所以△COB为等边三角形，
所以BC=BO=2．
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
22．（10分）已知矩阵A=．
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．
（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，
因此点P的坐标为（3，﹣1）．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．
【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，
∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．
∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，
∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，
∴直线l被曲线C截得的弦长为2．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，
∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4
是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，
∴x2+y2+z2的最小值为4
【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
设AC，A1C1的中点分别为O，O1，
则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
故以{}为基底，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），
C（0，1，0），
A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．
（1）点P为A1B1的中点．∴，
∴，．
|cos|===．
∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；
（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）
∴，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），
由，可取=（，﹣1，1），
设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，
sinθ=|cos|==，
∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．
26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有
μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，
∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．
为计算f n
+1
（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．
因此，f n
+1
（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．
当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n
﹣1（2）]+[f n
﹣1
（2）﹣f n
﹣2
（2）]+…+[f5（2）
﹣f4（2）]+f4（2）
=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．下载本文
