[第10讲 数列求和及数列的简单应用]
(时间：45分钟)
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，S5＝( )
A. B．5
C．－ D．－5
2．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( )
A．10 B．16 C．20 D．24
3．等差数列{an}中，若＝，则＝( )
A. B. C．1 D．2
4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S10等于( )
A. B. C. D.
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2 010且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 010＝( )
A．1 005 B．1 006
C．2 010 D．2 011
6．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11等于( )
A．24 B．48
C．66 D．132
7．某钢厂的年产量由1993年的40万吨增加到2003年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2013年的年产量约为( )
A．60万吨 B．61万吨
C．63万吨 D．万吨
8．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )
A．甲的产值小于乙的产值
B．甲的产值等于乙的产值
C．甲的产值大于乙的产值
D．不能确定
9．已知数列{an}的通项公式为an＝|n－13|，那么满足ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102的整数k( )
A．有3个 B．有2个
C．有1个 D．不存在
10．已知数列{an}满足a1＝，且对任意的正整数m，n都有am＋n＝am·an，若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________．
11．已知(i＋1)3－i3＝3i2＋3i＋1中令i取1，2，3，…，n－1可得23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，…，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，以上各式累加可得12＋22＋…＋n2＝，则13＋23＋…＋203＝________．(用数字作答)
12．等差数列{an}的各项为正，其前n项和为Sn，且S3＝9，又a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：当n≥2时，＋＋…＋<.
13．已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N*)，其中Sn为数列{an}的前n项和．
(1)试求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求{bn}的前n项和Tn.
14．已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋a2n－1a2n－a2na2n＋1，求Tn；
(3)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*恒成立，求最小正整数m.
专题限时集训(十)
【基础演练】
1．A [解析] a2，a4是方程x2－x－2＝0的两个根，a2＋a4＝1，S5＝＝＝.
2．C [解析] 设公差为d，则3a1＋3d＝12，解得d＝2.所以S4＝4×2＋×2＝20.
3．C [解析]＝＝×＝×＝1.
4．D [解析] an＝＝－，
所以S10＝a1＋a2＋…＋a10＝
＝
＝，选D.
【提升训练】
5．A [解析] 根据平面向量知识，a1＋a2 010＝1，所以S2 010＝＝1 005.
6．D [解析] 设公差为d，则a1＋8d＝a1＋d＋6，即a1＋5d＝12，即a6＝12，所以S11＝11a6＝132.
7．C [解析] 10年为一段，则1993，2003，2013年的年产量成等比数列，故2013年的年产量为50×＝62.5≈63.
8．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{an}，乙各个月份的产值为数列{bn}，则数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1，a11＝b11，故a6＝≥＝＝＝b6，由于在等差数列{an}中的公差不等于0，故a1≠a11，上面的等号不能成立，故a6>b6.
9．B [解析] 如果k≥13，则ak＋ak＋1＋…＋ak＋19≥0＋1＋…＋19＝190>102，故k<13.设k＋i＝13，0 11．44 100 [解析] 类似地，在(i＋1)4－i4＝4i3＋6i2＋4i＋1中令i取1，2，3，…，n－1可得 24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，…， n4－(n－1)4＝4(n－1)3＋6(n－1)2＋4(n－1)＋1，累加可得n4－14＝4[13＋23＋…＋(n－1)3]＋6[12＋22＋…＋(n－1)2]＋4[1＋2＋…＋(n－1)]＋(n－1)，结合已知可得，13＋23＋…＋n3＝＋n3＝，所以13＋23＋…＋203＝2102＝44 100. 12．解：(1)设等差数列{an}的公差为d， ∵S3＝9，∴a2＝3， ∴a1＋2＝3－d＋2＝5－d，a2＋3＝6，a3＋7＝3＋d＋7＝10＋d. ∵a1＋2，a2＋3，a3＋7成等比数列， ∴(5－d)(10＋d)＝36， 解得d＝2或d＝－7(舍去)． ∴an＝3＋(n－2)×2＝2n－1. (2)证明：因为＝＝< ＝＝－. 所以当n≥2时， ＋＋…＋<1＋1－＋－＋…＋－ ＝1＋1－<1＋＝. 13．解：(1)∵Sn＝1－an，① ∴Sn＋1＝1－an＋1，② ②－①得an＋1＝－an＋1＋an， ∴an＋1＝an(n∈N*)． 又n＝1时，a1＝1－a1， ∴a1＝，∴an＝·n－1＝n(n∈N*)． (2)bn＝＝n·2n(n∈N*)， ∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，③ ∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，④ ③－④得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1. 整理得：Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*. 14．解：(1)∵f(x)＝＝＋，∴an＋1＝f＝＋an， ∴{an}是以为公差的等差数列，而a1＝1，∴an＝n＋. (2)由(1)知，Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋a2n－1a2n－a2na2n＋1 ＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1) ＝－(a2＋a4＋…＋a2n)＝－×＝－(2n2＋3n)． (3)当n≥2时，bn＝＝＝－， 又b1＝3＝1－，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＝. ∵Sn<对一切n∈N*成立，即<恒成立， 而＝1－关于n递增，且<， ∴≥，即m≥2 012，∴最小正整数m＝2 012.下载本文
