浅析第二型曲面积分的计算方法

专业名称：数学与应用数学

作者姓名：文玉玲

指导教师：刘小松 教授

论文答辩小组

组  长： 刘 小 松     

成  员： 石 义 霞       

   肖    瑾    

论文成绩：          

浅析第二型曲面积分的计算方法

作者  文玉玲  指导老师  刘小松教授

（岭南师范学院数学与计算科学学院  湛江 524048）

摘 要：本文主要通过实例探讨了第二型曲面积分的计算方法，从而丰富了数学分析中有关第二型曲面积分的内容.

关键词：第二型曲面积分；计算方法；高斯公式

Discussions on the Calculation Methods of the Second Type of Surface Integrals

Wen Yuling

(School of Mathematics and Computation Science, Lingnan Normal University Zhanjiang, 524048)    

Abstract: In this paper, calculation methods of the second type of surface integrals are mainly  discussed. Hence, the contents about the second type of surface integrals are enriched.

Key words: the second type of surface integral; calculation method; Gauss formula

1  引言

1.1 本文背景

第二型曲面积分是积分学中的一类重要曲面积分，在数学分析中有着广泛的应用.关于第二型曲面积分的计算也是数学分析学习中的一个重难点，并且在许多考研试卷中也基本上是必考题之一.对第二型曲面积分的计算方法的归纳总结，不仅可以综合所学的知识拓宽视野，并能提高发散思维能力和空间想象力，目前国内外对第二型曲面积分的计算方法的研究比较普遍，这方面的内容参见文献[1-9].

1.2 本文主要内容及其意义

    本文从第二型曲面积分的定义、积分曲面的对称性、两类曲面积分的关系、高斯公式等方面探讨第二型曲面积分的不同类型题解的问题，有助于进一步理解第二型曲面积分和重积分之间的关系.

2  一些定义引理

2.1 基本定义

 定义 设为定向的光滑曲面，曲面上的每一点指定了单位法向量.如果是定义在上的向量值函数，称为在上的第二类曲面积分（如果右面的第一类曲面积分存在）.

定义 （轮换对称性）如果积分变量,在曲面方程中具有轮换对称性（即三个变量轮换位置，曲面方程不变）则有.

2.2 基本引理

 为了计算本文的曲面积分,需要用到下面一些引理.

 引理 （1）若曲面

.

.

（2）若曲面

.

.

（3）若曲面

.

.

引理 设是关于面对称的分片光滑曲面，，分别为的及部分 ，取上侧（下侧），取下侧（上侧）,

   （1）若函数连续且关于为偶函数，则.

   （2）若函数连续且关于为奇函数，则.

若关于、面、面对称时也有类似的结论.

 引理 设积分曲面，，其中是在面上的投影区域，被积函数，，在上连续，函数在 上具有一阶连续偏导数，则 

.

其中当取上侧时，上式右侧取“+”，当取下侧时，上式右侧取“—”.

引理 设是可定向曲面，是上选定的某一侧的法向量，则，其中，，是法向量的方向余弦.

引理 设空间区域由分片光滑双侧曲面所围成，，，在上连续，且具有一阶连续偏导数，则有，其中取外侧.

3 计算方法的应用举例

3.1 多投影法

    例1 计算积分，为球面，取外侧.

 时可分开计算三个积分：、、,即分别把曲面投影到面，面，面上化为二重积分来进行计算，投影区域的侧由曲面的方向决定.

    解 由引理1,对积分，用和记前半球面和后半球面的外侧，则

：，,

，,

故

=   （令 ）

==.

对积分，分别用和记右半球面和左半球面的外侧，则有

：，,

：，,

对积分，分别用和记上半球面和下半球面的外侧，则有                         ，,

，,

同理代入计算得.

所以=.

3.2 利用对称性法

    例2 计算，其中是曲面，被曲面，所割下的部分.

    分析 如右图，曲面及被积函数 关于平面对称，对称点上的大小相等，符号相反，则积分为零，于是，可利用第二型曲面积分的对称性来计算该曲面积分.

    解 由引理2，

.

3.3 单投影法

    例3 计算曲面积分，其中是球面   

   分析 该曲面的被积函数只有一个，已知积分曲面的方程为，又在平面的投影域为,且曲面在一、八卦限部分的方程在面的投影区域都是单位圆在第一象限的部分，并注意到取外侧.

,

,

故

= 

（由二重积分的对称性）.

    注 由两类曲面积分之间的关系将积分投影到某个坐标平面上计算曲面积分，这样避免了从的方程中分别求出、、，及将有向曲面分别投影到面、面、面和投影时的侧的问题.

3.4 化为第一型曲面积分法

     例4 计算曲面积分,其中为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧.   

分析 如下图，由平面是已知的，则很容易求出曲面的法向量及法向量的方向余弦，首先令 ，于是可得为该平面上点处的法向量的方向余弦，从而可把该曲面积分化为第一型曲面积分来计算.

 解 由引理4，设的法向量为，则  ，于是

.

3.5 直接利用高斯公式

     例5 计算曲面积分，其中为立方体的表面，方向取外侧.  

分析 由，，，且，满足引理5，即上连续，且具有一阶连续偏导数.

    解 由引理5，设是所围成的空间区域,则

.

    注 在应用高斯公式解题时，首先要验证问题是否满足定理条件，其次可应用轮换对称性、区域对称性、函数奇偶性等简化计算.

3.6 作辅助平面，再利用高斯公式

 例6  计算曲面积分，S是旋转抛物面 ，部分，取下侧为正.

分析 如图所示：该曲面不是封闭的，故不能直接利用高斯公式，则需要补全曲面，即补全阴影部分.                      

解 补平面为 ,方向向上，则有，

设，，.有，

利用引理5，有（其中为与所围成的部分），

有：

.

利用极坐标变换,得.

3.7 参数方程法

     例7 计算积分,其中是球面在第一卦限部分并取外侧.

    分析 该被积函数是一个单项式，且曲面是一个球面方向取外侧为正即上侧，因此，可以利用参数方程来求解.

解 设球面的参数方程为

,,,,

则

，

其中.积分在正侧进行，则符号取正，有

.

4  结语

在计算第二型面积分时，一般是按照倒序应用上面几种方法.即首先考虑能否利用高斯公式，而在利用高斯公式时要看积分的形式，曲面积分是组合形式，，有一阶连续偏导数，新的被积函数的形式比原来被积函数简单，且新的三重积分计算比原曲面积分简单.再者，当积分曲面不封闭时，在补充曲面上的曲面积分应比原曲面积分简单.然后再利用曲面积分之间的联系，看能否将有向曲面化为无向第一型曲面积分来计算.最后才考虑直接计算.况且，从这几种方法中能注意到：只有高斯公式要求被积函数具有一阶连续偏导数，因此当被积函数不满足此条件时，只需考虑其他方法.事实上，根据被积函数的形式以及积分曲面的形状可以初步的判定所求积分是否适应高斯公式.如:当 为多项式时，肯定的形式更为简单.

    通过实例总结了第二型曲面积分的计算方法，虽然第二型曲面积分计算复杂，但通过适量典型题目的训练，认真分析、总结.仔细体会，是可以熟练运用并掌握第二型曲面积分的计算方法的.本文所用例题不多，因此，在遇到其他题型的第二型曲面积分的计算时，也可以通过这些方法来逐步攻克，以达到预期效果.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析下册[M]. 北京: 高等教育出版社，2009.

[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第2版)[M].北京:高等教育出版社，2006．       

[3] 吴烔圻.数学专业英语(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[4] 刘三阳，李广民.数学分析十讲[M].北京：科学出版社，2011.

[5] 杨传林.数学分析解题思想与方法[M].杭州：浙江大学出版社，2008.

[6] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析下册（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[7] 赵艳辉，王湘平.用对称性求线面积分[J].湖南科技学院学报，2012，33(4):5-8.

[8] 格.马.菲赫金哥尔茨.数学分析原理[M].北京：人民教育出版社，1979:108-117.

[9] Charles Chapman Pugh.Real mathemtical analysis[M].Beijing:Higher Education Press.2009.下载本文