一．解答题（共13小题）
1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）
（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）
（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．
3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．
（1）求C的轨迹方程；
（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．
4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M
有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为
D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．
6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线
Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．
8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，
|AB|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，
|AB|=8．（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐
标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=
sin∠AOQ（O为原点），求k的值．
11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB 的中点．
（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之
间的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．
2018年高考圆锥曲线大题
参与试题解析
一．解答题（共13小题）
1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）
（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2，
∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m
∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．
则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
联立，可得|x1﹣x2|=
所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，
∴该数列的公差为±．
2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B代入椭圆C：+=1中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k==﹣=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即，
解得0＜m
∴k=﹣．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2
∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，
∴x3=1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．
则|FA|+|FB|=4﹣，
∴|FA|+|FB|=2|FP|，
3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．
（1）求C的轨迹方程；
（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．
【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c==4，所以F1（﹣4，0）、F2（4，0），因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，
所以C的轨迹方程为（x﹣4）2+y2=16；
（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），
则=（x+4，y），
由，得（x+4，y）=2（x0﹣x，y0﹣y），
即，解得，
因为点P在C上，所以，
代入得，
化简得．
4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
【解答】解：（1）c==1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x=1，
由，解得或，
∴A（1.），或（1，﹣），
∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
A（x 1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，
直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB=+，
由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得k MA+k MB=，
将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0
从而k MA+k MB=0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，综上∠OMA=∠OMB．
5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M
有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为
D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：
m2＜4，
x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|AB|==，
∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；
（Ⅲ）设直线PA的斜率k PA=，直线PA的方程为：y=（x+2），
联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，
由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，
x1•x C=﹣，x C=﹣，则y C=（﹣+2）=，
则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），
由Q（﹣，），则=（，），=（，），
由与三点共线，则×=×，
整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB的斜率k==1，
∴k的值为1．
6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线
Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），
则|BF|==t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，
D（，），
==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），
k
QF联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去），
∴△AQP的面积S=××=；
（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，
直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），
根据+=，则E（+6，），
∴（）2=8（+6），解得：y2=，
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．
7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点
P（1，2），∴4=2p，解得p=2，
设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得，
消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，
且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，
又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，
故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，y M），N（0，y N），
则=（0，y M﹣1），=（0，﹣1）
因为=λ，所以y M﹣1=﹣y M﹣1，故λ=1﹣y M，同理μ=1﹣y N，
直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），
令x=0，得y M=，同理可得y N=，
因为+=+=+===
===2，
∴+=2，∴+为定值．
8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，
|AB|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由已知可得，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为：，
（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．
∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，
∴x2=5x1，
易知直线AB的方程为：2x+3y=6．
由，可得＞0．由，可得，
⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．
由＞0．可得k，故k=﹣，
9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，
|AB|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=
==8，解得：sin2θ=，
∴θ=，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即
y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．
10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐
标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=
sin∠AOQ（O为原点），求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，
由椭圆的离心率为e=，
∴=；
又a2=b2+c2，
∴2a=3b，
由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；
可得ab=6，
从而解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；
∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；
又|AQ|=，且∠OAB=，
∴|AQ|=y2，
由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；
由方程组，消去x，可得y1=，
∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；
由方程组，消去x，可得y2=；
由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，
两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，
解得k=或k=；
∴k的值为或．
11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB 的中点．
（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，
显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），
则，
∴，．
∴=．
∴a2=8．
所以椭圆C的方程为．
（2）假设存在定点M，且设M（0，m），
由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．
∴．
即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，
∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．
由（1）知，
∴．
∴m=4．
所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．
12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，
所以，
由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，
所以a=2，b=1，
椭圆Γ的标准方程为．
（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，
当直线l的斜率不存在时，
令x=±1，得，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
则，
所以，
将代入x2+y2=1，得，
又因为=，
原点到直线l的距离，
所以
==×
==．
当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．
综上所述，△AOB面积的最大值为1．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之
间的距离为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，
解得a=2，c=b=．
∴椭圆的方程为：+=1．
（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，
∴点M为AB的中点．
∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．
设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．
由+=，+=1，
化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．
解得：x0=﹣．
代入解得：y0=，
∴k AB=，
因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．
