[第16讲　圆锥曲线热点问题]

(时间：45分钟)

1．与两圆x2＋y2＝1及x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在(　　)

A．一个椭圆上  

B．双曲线的一支上

C．一条抛物线上  

D．一个圆上

2．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是(　　)

A．y＝±x  B．y＝x    

C．x2－3y2＝1  D．x2－3y2＝0

3．点P是抛物线x2＝y上的点，则点P到直线y＝x－1的距离的最小值是(　　)

A.  B.  

C.  D. 

4．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程是(　　)

A．y2＝4x  

B．y2＝－4x

C．y2＝8x  

D．y2＝－8x

5．已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是(　　)

A．[1，4)  

B．[1，＋∞)

C．[1，4)∪(4，＋∞)  

D．(4，＋∞)

6．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)

A．y2－＝1(y≤－1)  

B．y2－＝1

C．y2－＝－1  

D．x2－＝1

7．若点O和点F(－2，0)分别是双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)

A．[3－2，＋∞)  

B．[3＋2，＋∞)

C.  

D. 

8．过椭圆＋＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q，则△POQ的面积的最小值为(　　)

A.  B.  C．1  D. 

9．过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使·＝0，则双曲线离心率e的取值范围是________．

10．抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．

11．过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥，m交抛物线于A，B两点，且A点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________．

12．已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，M的离心率e＝，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B两点．

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设点N(t，0)是一个动点，且(＋)⊥，求实数t的取值范围．

13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1(－，0)，而且椭圆过点H.

(1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的上、下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.

证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

图16－1

14．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若P(a，0)为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A，B两点．

①设S△AOB＝t·tan∠AOB，试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值；

②若a＝－1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点．

专题限时集训(十六)B

【基础演练】

1．B　[解析] 圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为(4，0)，半径为2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去到(0，0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．

2．D　[解析] 设点的坐标为(x，y)，则＝2|y|，整理得x2－3y2＝0.

3．D　[解析] 设P(x，y)，则d＝＝＝≥.

4．A　[解析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·得：

(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得：y2＝4x.

【提升训练】

5．C　[解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.

6．A　[解析] 由题意|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，

∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.

故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．

又c＝7，a＝1，b2＝48，

所以轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．

7．B　[解析] 因为F(－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1，设点P(x0，y0)，则有－y＝1(x0≥)，解得y＝－1(x0≥)，因为＝(x0＋2，y0)，＝(x0，y0)，

所以·＝x0(x0＋2)＋y＝＋2x0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－，因为x0≥，所以当x0＝时，·取得最小值×3＋2－1＝3＋2，

故·的取值范围是[3＋2，＋∞)，选B.

8．B　[解析] 设M(x0，y0)，根据圆的切线知识可得过A，B的直线l的方程为x0x＋y0y＝2，由此得P，0，Q0，，故△POQ的面积为×·＝.点M在椭圆上，所以＋＝1≥2·，由此得|x0y0|≤3，所以≥，等号当且仅当＝时成立．

9.，＋∞　[解析] 设曲线的方程为－＝1，A－c，，B－c，－，C(0，t)，

由·＝0，得t2＝－c2≥0，e≥.

10.－2　[解析] 由抛物线的定义得，点P到直线l的距离，即为点P到抛物线的焦点F(2，0)的距离．设线段FC与圆交于点E，则|FE|即为m＋|PQ|的最小值．圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0化为标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，其半径r＝2，故|FE|＝|FC|－r＝－2＝－2.

11.，1＋　[解析] 取值范围的左端点是＝，但不能取到，右端点是当直线的倾斜角等于时取得，此时直线方程是y＝x－，代入抛物线方程得x2－x＋＝0，根据题意点A的横坐标是x＝＝＋，根据抛物线定义，该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是＋＋＝1＋.

12．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．抛物线焦点坐标为(2，0)，所以a＝2，＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆M的标准方程为：＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设l：x＝my＋1(m∈R，m≠0)

⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.

则y1＋y2＝－，①

(＋)⊥⇒|NA|＝|NB|⇒(x1－t)2＋y＝(x2－t)2＋y⇒(x1－x2)(x1＋x2－2t)＋(y－y)＝0，

将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入上式整理得：

(y1－y2)[(m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)]＝0，由y1≠y2知，

(m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)＝0，将①代入得t＝，

所以实数t∈.

13．解：(1)方法1：由题意得a2－b2＝3，＋＝1，

解得a2＝4，b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

方法2：椭圆的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，

由椭圆的定义可得2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝4，

所以a＝2，b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)证法1：由(1)可知A1(0，1)，A2(0，－1)，设P(x0，y0)，

直线PA1：y－1＝x，令y＝0，得xN＝；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0，得xM＝；

设圆G的圆心为－，h，

则r2＝－－2＋h2＝＋2＋h2，|OG|2＝－2＋h2，

|OT|2＝|OG|2－r2＝－2＋h2－＋2－h2＝，

而＋y＝1，所以x＝41－y，所以OT2＝＝4，

所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2.

证法2：由(1)可知A1(0，1)，A2(0，－1)，设P(x0，y0)，

直线PA1：y－1＝x，令y＝0，得xN＝；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0，得xM＝；

则|OM|·|ON|＝＝，

而＋y＝1，所以x＝4(1－y)，

所以|OM|·|ON|＝＝4，由切割线定理得

|OT|2＝|OM|·|ON|＝4，

所以|OT|＝2，即线段OT的长度为定值2.

14．解：(1)由题意，设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，0，

∵椭圆＋＝1的右焦点为(1，0)，

∴＝1，即p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x.

(2)①设直线AB：my＝x－a，

联立消x得，－my－a＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4a，x1x2＝＝a2，

由S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB

＝|OA|·|OB|·cos∠AOB·tan∠AOB，

∴t＝|OA|·|OB|·cos∠AOB.

∵|OA|·|OB|·cos∠AOB＝·＝x1x2＋y1y2，

∴t＝(x1x2＋y1y2)＝(a2－4a)＝(a－2)2－2≥－2，

即当a＝2时，t取得最小值－2.

②由①可知D(x1，－y1)，y1＋y2＝4m，y1y2＝4，

直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，

即y－y2＝·x－，

y＝y2＋x－，

∴y＝x－＝(x－1)，

∴直线BD过定点(1，0)．下载本文