课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·福州模拟)过点(1,0)且与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程是
A．x＋3y＋1＝0 B．x＋3y－1＝0
C．3x－y－3＝0 D．3x＋y－3＝0
解析 易知所求直线的斜率为－，
故其方程为y－0＝－(x－1)，
即x＋3y－1＝0.
答案 B
2．(2012·徐州模拟)若直线3x－ky＋6＝0与直线kx－y＋1＝0平行，则实数k的值为
A．－ B.
C．± D．不存在
解析 据题意有：－k2＋3＝0，∴k＝±.
答案 C
3．(2012·青岛高三一模)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为
A．(x－1)2＋y2＝ B．x2＋(y－1)2＝
C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析 由题意得a＝1，b＝0，r＝＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.
答案 C
4．(2012·北京东城11校联考)已知直线l过定点(－1,1)，则“直线l的斜率为0”是“直线l与圆x2＋y2＝1相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若直线l的斜率为0，则过(－1,1)的直线方程为y＝1，易知l与圆x2＋y2＝1相切，但当直线l的斜率不存在时，也与圆x2＋y2＝1相切，故为充分不必要条件．
答案 A
5．(2012·贵阳模拟)下列直线方程，满足“与直线y＝x平行，且与圆x2＋y2－6x＋1＝0相切”的是
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－7＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋7＝0
解析 据题意，设所求的直线方程为x－y＋m＝0，
圆x2＋y2－6x＋1＝0的圆心坐标为(3,0)，半径r＝2，
∴r＝＝2，∴|3＋m|＝4，∴m＝－7或m＝1，故选A.
答案 A
6．已知直线l：y＝－1，定点F(0,1)，P是直线x－y＋＝0上的动点，若经过点F、P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为
A. B．π
C．3π D．4π
解析 由于圆经过点F、P且与直线y＝－1相切，所以圆心到点F、P与到直线y＝－1的距离相等．由抛物线的定义知圆心C在以点(0,1)为焦点的抛物线x2＝4y上，圆与直线x－y＋＝0的交点为点P.显然，圆心为抛物线的顶点时，半径最小，为1，此时圆面积最小，为π.故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a＝________.
解析 由得a＝－1.
答案 －1
8．(2012·房山一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
解析 过原点且倾斜角为60°的直线方程为x－y＝0.
把圆x2＋y2－4y＝0化为x2＋(y－2)2＝4知圆心为(0,2)，半径r＝2.
∴圆心(0,2)到直线x－y＝0的距离d＝＝1.所以弦长为2＝2.
答案 2
9．(2012·青岛二模)已知直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且·＝0，其中O为坐标原点，则正实数a的值为________．
解析 ∵OA⊥OB，且|OA|＝|OB|＝2，∴|AB|＝2.
设AB的中点为M，则|OM|＝|AB|＝.
又OM⊥AB，∴|OM|＝＝，∴|a|＝2，
又a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．设直线l经过点P(3,4)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4.
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，
而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，
直线l的斜率为k＝.
(2)由题意，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0.
又直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4交于两个不同的点，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即＜2.
解得k＞.
所以直线l的斜率的取值范围为.
11．(2012·临汾高三质检)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解析 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．
则直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
12．(2012·东莞模拟)已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，M(2,0)满足＝，点T(－1,1)在AC边所在直线上且满足·＝0.
(1)求AC边所在直线的方程；
(2)求△ABC外接圆的方程；
(3)若动圆P过点N(－2,0)，且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
解析 (1)∵·＝0，
∴AT⊥AB，又T在AC上，∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，
又AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，所以直线AC的斜率为－3.
又∵点T(－1,1)在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)．
即3x＋y＋2＝0.
(2)AC与AB的交点为A，∴由解得点A的坐标为(0，－2)，
∵＝，∴M(2,0)为Rt△ABC斜边上的中点，
即为Rt△ABC外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2.
∴△ABC外接圆的方程为：(x－2)2＋y2＝8.
(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，
又∵动圆P与圆M外切，
∴|PM|＝|PN|＋2，即|PM|－|PN|＝2.
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支．
∵实半轴长a＝，半焦距c＝2.
∴虚半轴长b＝＝.
从而动圆P的圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－)．下载本文
