一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A.     B.     C. 2    D. 

【答案】A

【解析】

，故的虚部为，  故选：A.

2.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行），

则抽取的第11个个体是（    ）

A. 38    B. 13    C. 42    D. 02

【答案】D

【解析】随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.   故选：D

3.的内角的对边分别是，若，，，则（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

,

所以，整理得求得或

若，则三角形为等腰三角形，不满足内角和定理，排除.  故选：B.

4.如图，在棱长为的正方体中，为中点，则四面体的体积(    )

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】为中点    

又平面

，   故选：C

5.已知是非零向量且满足，，则与的夹角是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】设的夹角为；

因为，，所以，

则，则故选：B

6.如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】取的中点，连接

由分别为的中点，则且

在正方体中且,所以且

所以四边形为平行四边形，所以 

则（或其补角）为异面直线与所成角.

设正方体的棱长为2，则在中，, 

所以

故选：A

7.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（     ）

A．0.16        B．0.48

C．0.52        D．0.84

【答案】D

【解析】记A城市和B城市降雨分别为事件和事件，故，，

可得，，两城市均未降雨的概率为，

故至少有一个城市降雨的概率为，故选:D．

8.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（    ）

A.     B. 2    C. 1    D. 

【答案】A

【解析】因为，即，

所以，因为，

所以，由余弦定理，

可得，

再由正弦定理得，

因为，

所以，所以或，

得或（舍去）.因为是锐角三角形，

所以，得，即，

所以，

当且仅当，取等号.   故选:A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.某校对甲､乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲､乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（    ）

A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.

B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散.

C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.

D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数.

【答案】AC

【解析】对于A，甲组的平均分为，

乙组的平均分为，

故甲的平均分大于乙组，故A正确；

对应B，由茎叶图可知，甲组较乙组更为集中，故B错误；

对于C，由茎叶图可知，甲组的中位数为77，乙组的中位数为，即甲组的中位数大于乙组的中位数，故C正确；

对于D，由茎叶图可知，甲组的众数为79，乙组为，故甲组众数大于乙组众数，故D错误.   故选：AC.

10.以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）

A．在中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C

B．在中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在中，

【答案】ACD

【解析】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，∴a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确.    故选：ACD.

11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（    ）

A. 为单位向量        B.         C.          D. 

【答案】ACD

【解析】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，对于选项A，则，，所以，即是单位向量，A正确；

对于选项B， 由，得，，故，夹角为，故B错误；

对于选项C，因为，所以，C正确；

对于选项D， ，故D正确．

故选：ACD．

12.如图，正方体棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 平面

B. 始终在同一个平面内

C. 平面

D. 三棱锥的体积为定值

【答案】ACD

【解析】由题可知，正方体棱长为，

则平面，而平面，

，

连接交于点，则，

而，平面，

平面，

由于是线段上的两个动点，则，

平面，，

又，所以平面，故选项A正确；

，，同在平面上，而不在平面上，

，不在同一个平面内，故选项B错误；

，面，面，

平面，故选项C正确；

由于，，且，

，

由于平面，则平面，

，

由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.复数，，其中为虚数单位，则在复平面内的对应点位于第______象限

【答案】四

【解析】由题意得，

所以在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，   故答案为：四

14.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上、下底面圆的半径分别为，则________.

【答案】1

【解析】设截得圆台的圆锥的母线长为,截下的小圆锥的母线长为,圆台的母线长为,

则圆锥的底面周长与侧面展开图大圆弧长相等，即,∴同理，，

根据圆台的侧面积公式得：,

∴，   故答案为：1.

15.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程中，p为“隅”，q为“实”．即若的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则.已知点D是边AB上一点，，，，，则的面积为________．

【答案】.

【解析】，所以，由余弦定理可知，得.根据“三斜求积术”可得，所以.    故答案为：

16.在正三棱锥中，M是SC的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为_______________.

【答案】

【解析】取中点，连接，

三棱锥为正三棱锥    ，    ，，

平面，    平面，

平面    ，

又，平面，    平面，

平面    ，，

由正棱锥侧面全等可知：，即两两互相垂直，

可将三棱锥放入如下图所示的正方体中，其中，

则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，

    正方体外接球半径：，

所求外接球的表面积：，故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知复数，是实数．

（1）求复数z；

（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

可得，

又由是实数，可得，解得，所以．

（2）因为是方程的根，

所以，即，

可得，解得.

18.如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求边的长．

【答案】（1）（2）6

【解析】（1）因为，所以，

所以，所以，

（2）因为，

，

所以，

设，因为，

所以，又因为，

所以，

化简得，

解得(负值舍去)，所以的长为6．

19.在①，，且，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．

在中，角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求角；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】条件选择见解析；（1）；（2）12．

【解析】（1）选①∵，，且，

∴．

化简得，，由余弦定理得，

又因为，∴．

选②根据正弦定理，由得，

又因为，

所以，又因为，

所以，又因为，所以．

选③由，得，

即，所以，

又因为，所以，因此．

（2）由余弦定理，得．

又∵，∴，当且仅当时等号成立，

∴，解得，，当且仅当时，等号成立．

∴．

∴的周长的最大值为12．

20.在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：

（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；

（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.

【答案】（1）（2）（天）（3）

【解析】（1）调查的50名A病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，

因此该地区A病毒患者中，60岁以下的人数估计有人.

（2）（天）

（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，

从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.

记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A，则事件A包括8个，

所以.

21.如图所示，在中，侧棱底面，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【详解】

（Ⅰ）证明：设与交于E，连接DE，如图所示：

由题意得E、D分别为、AC的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）取中点F，连接AF、EF，如图所示

由题意得四边形为矩形，且AC=2，，D为AC中点，

所以且，

所以为等腰直角三角形，又F为中点，

所以.

又D为AC中点，且BA=BC，

所以，

又侧棱底面，平面，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以，又，

所以平面，

所以为直线与平面所成平面角，

在中，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，又平面，

所以，又，

所以即为二面角所成的平面角，

在中，，

所以，且二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.

22.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且.

（1）若为锐角三角形，求的取值范围；

（2）若，且，求面积的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）中，由正弦定理可得

，，

，

，

又为的内角，，即， 

，又为锐角三角形，

，，

又，

.   

（2）在中，由正弦定理可得

，

又，

，

（） 

，.

当时，（），        

当时，（），

， 

又，在上单调递增，

当时，的面积最小，最小值为.

综上所述，三角形面积的最小值为.下载本文