1.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞)    B.[4,8)    C.(4,8)    D.(1,8)

【答案】B　

由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.

2.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为    (　　)

A.(-∞,1]    B.[3,+∞)

C.(-∞,-1]    D.[1,+∞)

【答案】B　

设t=x2-2x-3,由t≥0,

即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.

故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).

因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,

所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.

所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).

3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)

A.[1,2]    B.    C.    D.(0,2]

【答案】C　

∵loa=-log2a,

∴f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),

原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).

又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,

所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.

4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则(　　)

A.b>c>a    B.c>b>a    C.b>a>c    D.a>b>c

【答案】A　

∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),

b=∈(1,2),c=eln x=x∈(e-1,1),

∴b>c>a.

5.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤1    B.a≥1    C.a≤0    D.a≥0

【答案】C　

当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.

依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.

6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(loga2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是(　　)

A.∪(1,2)    B.∪(2,+∞)

C.∪(1,2)    D.∪(2,+∞)

【答案】B　

由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,

∵x≥1时,f(x)=2x+,

∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.

∵f(2)=6,∴f(loga2a)<6⇔f(loga2a)∴|loga2a-1|<1,即|loga2|<1,解得a>2或07.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是(　　)

A.x1>x2    B.x1C.x1+x2<0    D.x1+x2>0

【答案】D　

函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,

由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,

令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,

∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.

∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),

∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.

8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为(　　)

A.0    B.2    

C.-    D.不存在

【答案】A　

在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.

9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 (　　)

A.2-5    B.-5    C.2+5    D.5

【答案】A　

对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),

令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,

动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,

即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,

可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,

可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),

则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,

当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.

10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

【答案】D　

∵g(x) ===2sin,

∴g(x2)max=2.

f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;

等价于0即设p(x1)==-1,q(x1)==-,

∵x1∈,

∴∈,

∴p(x1)max=-1=-,

q(x1)min=-,∴a∈.故选D.

11．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0     B．f(x1)＜0，f(x2)＞0

C．f(x1)＞0，f(x2)＜0     D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

【答案】B

因为函数y＝log2x与函数y＝＝－的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.

12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)

A．－1     B．1

C．6     D．12

【答案】C.

由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；

当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A．f(x)在(0，2)单调递增

B．f(x)在(0，2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

【答案】C

f(x)的定义域为(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因为g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x＝1是y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除A，B，D，故选C.

14．已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)     B．(－∞，0)

C．(0，2)     D．(－2，0)

【答案】A

作出函数f(x)的图象如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.故选A.

15.设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为　　　　　. 

【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)　

因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*)

(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.

令g(a)=(x-1)a+x2+1.

则解得x≥0或x≤-1,

即实数x的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).

16.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 

【答案】3　

因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

17．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．

【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)

由已知可得解得－3＜a＜－1或a＞3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

18．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

【答案】3

由于y＝在R上单调递减，y＝－log2(x＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.

19．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．

【答案】[0，1)

由题意知g(x)＝函数图象如图所示， 

由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0，1)．

20.已知函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　. 

【答案】(-∞,1]∪[4,+∞) 

画出f(x)=的图像如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内递增,

所以a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).

21．如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝

以上函数是“H函数”的所有序号为________．

【答案】①③

因为对任意两个不相等的实数x1，x2，

都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，

所以不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，

即函数f(x)是定义在R上的增函数．

①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．

②函数y＝x2在定义域上不单调，不满足条件．

③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函数单调递增，满足条件．

④f(x)＝当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H函数”的函数为①③.

22．判断函数f(x)=ax+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.

该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下: 

任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x10,x1+2>0,x2+2>0,

又a>1,

所以>,即有->0,

所以f(x2)-f(x1)=+--

=(-)+

=(-)+>0,

故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.

23． (1)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是    (　　)

A.(-1,1]    B.[1,3)

C.(-∞,1]    D.[1,+∞)

(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　. 

 【答案】(1)A　(2)[0,1)　 

 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],

故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].

(2)由题意知g(x)=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).

24．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则    (　　)

A.aC.c【答案】B　

∵f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log25>2,∴0<0.32<30.225．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：

①函数f(x)的最小值是－1；

②函数f(x)在R上是单调函数；

③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；

④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的所有序号是________．

【答案】①③④

根据题意可画出函数图象， 由图象可知，①显然正确；

函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，

则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．下载本文