引入

对于二次函数，我们可以这样描述“在区间（0，）上，随着的增大，相应的也随着增大”；在区间（0，）上，任取两个，得到，当时，有.这时，我们就说函数在区间（0，）上是增函数.

1、函数单调性的判断与证明

1、函数增减性的定义

一般地，设函数的定义域为：

如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数（increasing function）如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasing function）.

【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝3－x　　　　B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|

【解析】选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.

【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．

【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，因此g(x1)－g(x2) <0，即g(x1)故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

【例3】求下列函数的单调区间．

(1)f(x)＝3|x|；　(2)f(x)＝|x2＋2x－3|； (3)y＝－x2＋2|x|＋1.

【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝图象如图所示．

f(x)在(－∞，0]上是减函数，

在[0，＋∞)上是增函数．

(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.

先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．

由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；

函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．

(3)由于y＝即y＝

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，

单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

【例4】求函数y＝的单调区间．

【解】令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．

∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．

【例5】证明：函数在R上是增函数

【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数。

【例6】讨论函数的单调性，请作出当a=1时函数的图像。

【变式2】讨论的单调性

2、函数的单调区间

如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.

（1）区间端点的确认

函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义。因此，书写函数的单调区间时，若函数在区间端点处有意义，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。

（2）多个单调区间的写法

当同增（减）单调区间有多个时，区间之间不一定能写成并集。【注意】一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接。

【例7】求下列函数的单调区间：

（1）；（2）

【变式3】（1）作出函数的图像，并指出函数的单调区间

（2）求函数的单调区间。

【例8】求解下列问题：

（1）求函数的单调区间

（2）求函数的单调区间

【练习1】

1、设函数为定义在上的偶函数，且在为减函数，则的大小顺序

2、在(0,2)上是增函数，是偶函数，则的大小关系

3、判断正误

(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性(　　)

(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)(　　)

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(　　)

(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)(　　)

(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)(　　)

4．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为

________．

5．若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．二、函数最值

1、函数最值定义

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有

（2）存在，使得

那么，我么称M是函数的最大值（maximum value）

请你模仿函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）的定义。

【例9】函数f(x)＝的最大值为________．

【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2.

【例10】函数在区间（）上的最大值是1，最小值是，则

【变式4】函数的最大值为

【例11】写出函数的单调区间，并求其最值。

【练习2】

1．判断正误

(1)所有的单调函数都有最值(　　)

(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为(　　)

2．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．

2、二次函数的单调性与最值

【例12】若函数的单调区间是，则实数a的取值范围是

【变式5】若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是

【例13】已知二次函数

（1）当时，求的最值

（2）当时，求的最值

（3）当时，求的最小值

【变式6】设函数，，求函数

三、小结

1、设x1，x2∈[a，b]，如果>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数．

2、确定单调性的方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.

四、课后练习

一、选择题

1．下列说法中正确的有(　　)

①若x1，x2∈I，当x1②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)

A．[1,2] B．[－1,0]

C．[0,2] D．[2，＋∞)

【解析】选A　由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

3．(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则(　　)

A．fC．f【解析】选B　由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f＝f＝f＝f，又<<<1，∴f＞f>f，即f>f>f.

4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B．1

C．6 D．12

【解析】选C　由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的(　　)

A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0

C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值【解析】选C y＝|x－3|－|x＋1|＝作出图象可求．

6．(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．可能为0 B．恒大于0

C．恒小于0 D．可正可负

【解析】选C　由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0. ∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0. 由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)二、填空题

7．已知函数f(x)为R上的减函数，若f【解析】由题意知f(x)为R上的减函数且f1，即|x|<1，

且x≠0.故－18．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．

【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴

为直线x＝a，

画出草图如图所示．

由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，

因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，

只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)

9．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是

________．

【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区

间是[0,1)．

10．设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a

的取值范围是________．

【解析】f(x)＝＝a－，∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⇒⇒a≥1.答案　[1，＋∞)

三、解答题

11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

【解】(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)

＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．

又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.【解】(1)设x10，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.

f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)∴f(x)在R上为增函数．

(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，

∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，

∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，

∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3即a∈(－3,2)．下载本文