一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）若气温零上2℃记作+2℃，则气温零下3℃记作（　　）

A．﹣3℃    B．﹣1℃    C．+1℃    D．+5℃

2．（3分）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．（3分）沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（　　）

A．3.9×1011    B．0.39×1011    C．3.9×1010    D．39×109

4．（3分）用一根小木棒与两根长分别为3cm，6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（　　）

A．1cm    B．2cm    C．3cm    D．4cm

5．（3分）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（3分）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　）

A．10.5%    B．10%    C．20%    D．21%

7．（3分）如图，a∥b，∠3＝80°，∠1﹣∠2＝20°，则∠1的度数是（　　）

A．30°    B．40°    C．50°    D．80°

8．（3分）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（　　）

A．x＜2    B．x＞2    C．x＜1    D．x＞1

9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F，设BE＝x，OE2＝y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A．    B．    

C．    D．

10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（　　）

A．24    B．    C．    D．﹣4

二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出答案过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．（3分）为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是 　   　（填“全面调查”或“抽样调查”）．

12．（3分）分式有意义，则x应满足的条件是 　   　．

13．（4分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为 　   　．

14．（4分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 　   　．

15．（4分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　   　s时，小球达到最高点．

16．（4分）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A的仰角为60°，则树高AC为 　   　m（结果保留根号）．

17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 　   　．

18．（4分）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为 　   　．

三、答案题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，答案时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（12分）（1）计算：；

（2）解不等式组：．

20．（10分）为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生，根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：

A，B两个县区的统计表

（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，作出判断，并说明理由．

21．（10分）【阅读材料】

老师的问题：

已知：如图，AE∥BF．

请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形．

22．（10分）不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别．

（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是 　   　；

（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率．

23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．

（1）求直径BD的长；

（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．

24．（12分）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．

（1）写出图中点B表示的实际意义；

（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．

25．（13分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．

（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；

（2）当AE＝3时，求CF的长；

（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．

26．（13分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．

（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有 　   　（填序号）；

（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；

（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．

答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．【知识点】正数和负数．

【答案】解：∵气温是零上2摄氏度记作+2℃，

∴气温是零下3摄氏度记作﹣3℃．

故选：A．

2．【知识点】轴对称图形．

【答案】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．

选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：D．

3．【知识点】科学记数法—表示较大的数．

【答案】解：39000000000＝3.9×1010．

故选：C．

4．【知识点】三角形三边关系．

【答案】解：设第三根木棒长为xcm，由三角形三边关系定理得6﹣3＜x＜6+3，所以x的取值范围是3＜x＜9，观察选项，只有选项D符合题意．

故选：D．

5．【知识点】简单组合体的三视图．

【答案】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，

故选：A．

6．【知识点】一元二次方程的应用．

【答案】解：设从1月到3月，每月盈利的平均增长率为x，由题意可得：

3000（1+x）2＝3630，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），

答：每月盈利的平均增长率为10%．

故答案为：B．

7．【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质．

【答案】解：如图：

∵a∥b，

∴∠1＝∠4，

∵∠3是△ABC的一个外角，

∴∠3＝∠4+∠2，

∵∠3＝80°，

∴∠1+∠2＝80°，

∵∠1﹣∠2＝20°，

∴2∠1+∠2﹣∠2＝100°，

∴∠1＝50°，

故选：C．

8．【知识点】一次函数与一元一次不等式．

【答案】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），

所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，

故选：D．

9．【知识点】平行四边形的性质；函数的图象；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

【答案】解：过O点作OM⊥AB于M，

∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∵BC＝4，

∴AB＝8，AC＝，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝AC＝，

∴OM＝AO＝，

∴AM＝，

设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB﹣AM﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x，

∵OE2＝OM2+EM2，

∴y＝（x﹣5）2+3，

∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，

故符合解析式的图象为：

故选：C．

10．【知识点】多项式乘多项式．

【答案】解：∵m2+n2＝2+mn，

∴mn＝m2+n2﹣2，

∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）

＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2

＝5m2+5n2﹣12mn

＝5m2+5n2﹣12（m2+n2﹣2）

＝24﹣7（m2+n2），

∵m2+n2＝2+mn，

∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），

∴3mn+2＝0，

∴mn＝﹣，

（m2+n2）最小值＝，

∴24﹣7（m2+n2）取到最大值为，

即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为，

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出答案过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

11．【知识点】全面调查与抽样调查．

【答案】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查．

故答案为：抽样调查．

12．【知识点】分式有意义的条件．

【答案】解：∵分母不等于0，分式有意义，

∴x﹣2≠0，

解得：x≠2，

故答案为：x≠2．

13．【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【答案】解：若设人数为x，则可列方程为：5x+45＝7x﹣3．

故答案为：5x+45＝7x﹣3．

14．【知识点】全等三角形的判定．

【答案】解：∵AB∥ED，

∴∠B＝∠E，

∵AC∥DF，

∴∠ACB＝∠DFE，

∵AB＝DE，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．

15．【知识点】二次函数的应用．

【答案】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，

∵﹣5＜0，

∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，

故答案为：2．

16．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【答案】解：如图，设DE⊥AC于点E，

在Rt△AED中，AE＝DE•tan60°＝10×＝10，

∴AC＝1+10（米）．

故答案为：1+10．

17．【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．

【答案】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，

∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．

∴k＝6m2＝6mn，

∴n＝m，

∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），

∴B、C关于原点对称，

∴BO＝CO，

∵S△ABC＝2，

∴S△AOB＝1，

∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，

∴|6m+2m|）•|3m﹣m|＝1，

∴m2＝，

∵k＝6×，

∴k＝，

故答案为：．

18．【知识点】正方形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【答案】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，

∵tan∠ABG＝＝，

∴AG＝，DG＝2，

∴BG＝＝＝2，

∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，

∴△BAG∽△DEG，

∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，

∴＝＝，

∴DE＝，EG＝，

∴BE＝BG+EG＝2+＝，

∵∠ADH＝∠FHD＝90°，

∴AD∥FH，

∴∠EDG＝∠DFH，

∴∠ABG＝∠DFH，

∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，

∴△BAG≌△FHD（AAS），

∴AB＝FH，

∵AB＝BC，

∴FH＝BC，

∵∠C＝∠FHM＝90°，

∴FH∥CB，

∴＝＝1，

∴FM＝BM，

∵EF＝DE+DF＝+2＝，

∴BF＝＝4，

∵∠BEF＝90°，BM＝MF，

∴EM＝BF＝2，

∵BO＝OD，BM＝MF，

∴OM＝DF＝，

∵OE＝BD＝×6＝3，

∴△OEM的周长＝3++2，

故答案为：3+3，

三、答案题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，答案时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．

【答案】解：（1）原式＝

＝

＝

＝1；

（2）不等式2x﹣1＞x+1的解集为：x＞2，

不等式4x﹣1≥x+8的解集为：x≥3，

它们的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为：x≥3．

20．【知识点】众数；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．

【答案】解：（1）5000×（30%+25%+15%+5%）＝3750（名）．

故答案为：3750．

（2）因为A，B两个县区的平均数一样，从众数来看B县区好，但从中位数来看A县区好．

21．【知识点】作图—复杂作图；菱形的判定．

【答案】证明：由作图可知AD＝AB＝BC，

∵AE∥BF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

22．【知识点】列表法与树状图法；概率公式．

【答案】解：（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的结果有2种，

∴两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率为．

23．【知识点】圆周角定理；三角形的面积；角平分线的性质；等腰直角三角形．

【答案】解：（1）∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD＝∠DCE＝90°，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴BC＝DC＝2，

∴BD＝2×＝4；

（2）∵BE＝5，

∴CE＝3，

∵BC＝DC，

∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．

24．【知识点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．

【答案】解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kb时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；

（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝kx（k≠0），

把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，

解得k＝20，

∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲＝20x（0≤x≤120）；

当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝k′x（k′≠0），

把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，

解得：k′＝25，

∴y乙＝25x；

当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝mx+n（m≠0），

则，

解得：，

∴y乙＝15x+300，

综上，乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙＝；

（3）①当0≤a≤30时，

根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，

解得：a＝60＞30，不合题意；

②当30＜a≤120时，

根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，

解得：a＝80，

综上，a的值为80．

25．【知识点】四边形综合题．

【答案】（1）证明：如图1中，作FM⊥AC，垂足为M，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵FM⊥AC，

∴∠B＝∠AMF＝90°，

∵∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠MAF，

在△ABE和△AMF中，

，

∴△ABE≌△AMF（AAS），

∴AB＝AM；

（2）解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，

∴BE＝＝＝，

∵△ABE≌△AMF，

∴AB＝AM＝4，FM＝BE＝，

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝＝5，

∴CM＝AC﹣AM＝5﹣4＝1，

∵∠CMF＝90°，

∴CF＝＝＝．

当点E在CD上时，可得CF＝．

综上所述，CF的值为或；

（3）解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH⊥FM于点H．

∵△ABE≌△AMF，

∴AM＝AB＝4，

∵∠AMF＝90°，

∴点F在射线FM上运动，当点F与H重合时，DH的值最小，

∵∠CMJ＝∠ADC＝90°，∠MCJ＝∠ACD，

∴△CMJ∽△CDA，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴MJ＝，CJ＝，

∴DJ＝CD﹣CJ＝4﹣＝，

∵∠CMJ＝∠DHJ＝90°，∠CJM＝∠DJH，

∴△CMJ∽△DHJ，

∴＝，

∴＝，

∴DH＝，

∴DF的最小值为．

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为∠ABC，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR于点Q，DK⊥FR于点K．

∵∠EAF＝∠BAC，∠DAR＝∠BAC，

∴∠DAE＝∠RAF，

∵AE＝AF，AD＝AR，

∴△ADE≌△ARF（SAS），

∴∠ADE＝∠ARF＝90°，

∴点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小，

∵DQ⊥AR，DK⊥RF，

∴∠R＝∠DQR＝∠DKR＝90°，

∴四边形DKRQ是矩形，

∴DK＝QR，

∴AQ＝AD•cos∠BAC＝3×＝，

∵AR＝AD＝3，

∴DK＝QR＝AR﹣AQ＝，

∴DF的最小值为，

∵＜，

∴DF的最小值为．

26．【知识点】二次函数综合题．

【答案】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2＞1，＜1，

∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，

∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1≤1，1≤1，

∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；

故答案为：②③；

（2）∵y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1，

∴函数经过定点（3，1），

在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，

由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），

∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，

当直线经过点C时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

∵a≥0，

∴a＝﹣1舍去；

当直线经过点D时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，

综上所述：a的值为3；

（3）在以O为中心，边长为2|n|的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，

如图2，当n＜0时，抛物线的对称轴为直线x＝n，

如图可知，A（n，﹣n），B（n，n），C（﹣n，n），D（﹣n，﹣n），

当抛物线经过D点时，n＝（舍）或n＝（舍）；

如图3，当n＜0时，A（n，n），B（n，﹣n），C（﹣n，﹣n），D（﹣n，n），

当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；

当抛物线经过点B时，n＝1；

∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；

综上所述：≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在.

 下载本文