1．在△ABC中，已知＝，则B的大小为(B)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：由正弦定理＝得＝，
∴＝，即sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝(B)
A. B．2 C．4 D．2
解析：由正弦定理得＝，即c＝2.
3．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(B)
A．4 B．2 C. D.
解析：利用正弦定理解三角形．
在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝2.
4．在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝60°，则a∶b∶c＝(A)
A．1∶∶2 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．1∶∶2
解析：由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.
5．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(A)
A．A>B B．A解析：sin A＞sin B⇔2Rsin A＞2Rsin B⇔a＞b⇔A＞B(大角对大边)．
6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(C)
A. B. C. D.
解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝.再由正弦定理＝，可得sin∠BAC＝.
7．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B等于(C)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：cos B＝＝＝.
∴B＝60°.
8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(B)
A．90° B．120° C．135° D．150°
解析：设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：
cos θ＝＝，∴θ＝60°.
∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.
9．在△ABC中，b2＋c2－a2＝－bc，则A等于(C)
A．60° B．135°
C．120° D．90°
解析：cos A＝＝－，∴A＝120°.
10．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是(D)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：由b2＝ac及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为(B)
A．52 B．2
C．16 D．4
解析：设夹角为α，所对的边长为m，则由5x2－7x－6＝0，得(5x＋3)(x－2)＝0，故得x＝－或x＝2，因此cos α＝－，于是m2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴m＝2.
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则∠B＝(B)
A. B.或 C.或 D.
解析：由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得a2＋c2－b2＝，再由余弦定理得：
cos B＝＝，即tan Bcos B＝，即sin B＝，∴B＝或.
13．在△ABC中，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝(D)
A．2 B．2 C. D.
解析：∵asin Asin B＋bcos2A＝a.
由正弦定理可得sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
即sin B＝sin A，∴＝＝.
14．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(C)
A．－ B. C. D.或－
解析：由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角．
∴cos B＝＝＝.
二．填空题
15．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理得＝，解得BC＝6，
∴S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×6×＝9.
答案：9
16．在△ABC中，A＝45°，a＝2，b＝，则角B的大小为________．
解析：由＝得sin B＝，由a＞b知A＞B，∴B＝30°.
答案：30°
17．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则b＝________，c＝________．
解析：由正弦定理知＝，即b＝c，又b＋c＝12，解得b＝4，c＝8.
答案：4 8
18．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
解析：在△ABC中，由正弦定理知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
答案：
19．(2013·上海卷)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝__________________.
解析：由3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0得a2＋b2－c2＝－ab，从而cos C＝＝－.
答案：－
20．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．
解析：由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即：5＝25＋BC2－9BC，解得：BC＝4或5.
答案：4或5
21．在△ABC中，化简b·cos C＋c·cos B＝________．
解析：由余弦定理得：
原式＝b·＋c·
＝＋＝a.
答案：a
22．在△ABC中，a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________．
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，
故B＝，由正弦定理知sin A＝＝，
又a＜b，因此A＝，从而C＝，即sin C＝1.
答案：1
23．已知△ABC的三边a，b，c，且面积S＝，则角C＝________．
解析：由absin C＝得a2＋b2－c2＝2absin C，再由余弦定理cos C＝得sin C＝cos C，∴C＝.
答案：
三、解答题
24．在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
解析：由正弦定理得＝，得sin A＝.
∵a＞b，∴A＞B＝45°，
∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝＝.
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝＝.
综上可得A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
25．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cos C＝.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
解析：(1)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4，∴c＝2.∴△ABC的周长为1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C＝，∴sin C＝＝，
cos A＝＝＝.
∴sin A＝＝.
∴cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝×＋×＝.
26．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
解析：∵acos＝bcos，
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理可得：a·＝b·，
∴a2＝b2.∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C＝2B.
(1)求cos B的值；
(2)若b2＝ac，求sin Asin C的值．
解析：(1)由2B＝A＋C和A＋B＋C＝180°，得B＝60°，∴cos B＝.
(2)由已知b2＝ac及正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝sin260°＝.
28．在△ABC中，B＝120°，若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
解析：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
即b2＝(a＋c)2－2ac－2ac·，
∴ac＝3.
故S△ABC＝acsin B＝×3×＝.下载本文
