一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A． y=﹣（x+2）2 B． y=﹣x2+2 C． y=﹣（x﹣2）2 D． y=﹣x2﹣2
2．（3分）关于二次函数y=（x+2）2﹣3的最大（小）值，叙述正确的是（）
A． 当x=2时，有最大值﹣3 B． 当x=﹣2时，有最大值﹣3
C． 当x=2时，有最小值﹣3 D． 当x=﹣2时，有最小值﹣3
3．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A． 点P B． 点Q C． 点R D． 点M
4．（3分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）
A． 60° B． 70° C． 120° D． 140°
5．（3分）给出下列四个函数：①y=﹣2012x；②y=x+2013；③y=；④y=2015x2﹣1，当x＜0时，y随x得增大而减小的函数有（）
A． ①③ B． ②④ C． ①④ D． ①③④
6．（3分）若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）
A． 0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣2
7．（3分）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
9．（3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）
A． a4＞a2＞a1 B． a4＞a3＞a2 C． a1＞a2＞a3 D． a2＞a3＞a4
10．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．（4分）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=度．
12．（4分）二次函数y=2x2+4x﹣1的图象关于x轴对称的图象的解析式是．
13．（4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．
14．（4分）如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为．
15．（4分）如图，是y=x2、y=x、y=在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出＜x＜x2时x的取值范围是．
16．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．
三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°．
（1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）；
（2）求它的外接圆半径．
18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求函数图象的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
19．（8分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB=10，求此时点P的坐标．
20．（10分）已知△ABC内接于⊙O，点D平分弧．
（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC．求证：AC=CD；
（2）如图②，若BC为⊙O的直径，且BC=10，AB=6，求AC，CD的长．
21．（10分）2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由．
22．（12分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
23．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴方程；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A． y=﹣（x+2）2 B． y=﹣x2+2 C． y=﹣（x﹣2）2 D． y=﹣x2﹣2
考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 动点型．
分析： 易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数用顶点式可得所求抛物线．
解答： 解：∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（﹣2，0），
设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）2+k，
∴新抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，
故选A．
点评： 考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减．
2．（3分）关于二次函数y=（x+2）2﹣3的最大（小）值，叙述正确的是（）
A． 当x=2时，有最大值﹣3 B． 当x=﹣2时，有最大值﹣3
C． 当x=2时，有最小值﹣3 D． 当x=﹣2时，有最小值﹣3
考点： 二次函数的最值．
分析： 根据二次函数图象的性质即可求出二次函数y=（x+2）2﹣3的最大（小）值．
解答： 解：因为a＞0，所以抛物线开口向上，
因为顶点是（﹣2，﹣3），
所以该二次函数有最小值，
即当x=﹣2时，有最小值﹣3．
故选D．
点评： 考查了二次函数的最值问题．根据图象的开口方向和顶点坐标即可判断它的最值情况．
3．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A． 点P B． 点Q C． 点R D． 点M
考点： 垂径定理．
分析： 作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．
解答： 解：连结BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．
故选B．
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
4．（3分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）
A． 60° B． 70° C． 120° D． 140°
考点： 圆周角定理．
分析： 过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
解答： 解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选D
点评： 本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
5．（3分）给出下列四个函数：①y=﹣2012x；②y=x+2013；③y=；④y=2015x2﹣1，当x＜0时，y随x得增大而减小的函数有（）
A． ①③ B． ②④ C． ①④ D． ①③④
考点： 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．
分析： 根据一次函数的性质，可判断①、②；根据反比例函数的性质，可判断③；根据二次函数的性质，可判断④．
解答： 解：①k=﹣2012＜0，y随x的而减小，故①符合题意；
②k=1＞0，y随x的而增大，故②不符合题意；
③k=﹣2014，在每个象限内y随x的而增大，故③不符合题意；
④x＜0时，在对称轴的左侧，y随x的而减小，故④符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查了二次函数的性质，a＞0时，对称轴的左侧y随x的而减小，对称轴的右侧y随x的而增大．
6．（3分）若函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）
A． 0 B． 0或2 C． 2或﹣2 D． 0，2或﹣2
考点： 抛物线与x轴的交点．
专题： 分类讨论．
分析： 分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解答： 解：分为两种情况：
①当函数是二次函数时，
∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，
解得：m=±2，
②当函数是一次函数时，m=0，
此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，
故选：D．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
7．（3分）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．
解答： 解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP=3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，在Rt△BCP中，CP==4；
故CD=2CP=8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；
所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选C．
点评： 本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
8．（3分）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
考点： 多边形内角与外角．
专题： 应用题；压轴题．
分析： 先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
解答： 解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选B．
点评： 本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
9．（3分）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）
A． a4＞a2＞a1 B． a4＞a3＞a2 C． a1＞a2＞a3 D． a2＞a3＞a4
考点： 正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．
解答： 解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3
设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，
设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，
∴正六边形的周率是a3==3，
圆的周率是a4==π，
∴a4＞a3＞a2．
故选：B．
点评： 本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．
10．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 二次函数图象与系数的关系．
分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答： 解：①抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∵a＜0，
∴abc＜0．
故①错误；
②由图示知，当x=﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，故②正确；
③由图示知，x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∵x=﹣=1，
∴a=﹣b，
∴a﹣b+c=﹣b﹣b+c＜0，即2c＜3b，故③正确；
④由图示知，x=1时，y＞0，即a+b+c＞0
∵a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，则（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2；
故④正确；
⑤∵当x=1时，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b），（m为实数且m≠1），故⑤正确．
综上所述，其中正确的结论有4个．
故选：D．
点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的要求和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．（4分）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC=120度．
考点： 翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
分析： 过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．根据垂径定理可得OD=OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD=BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解．
解答： 解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．
∴OD=OE，AD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，OD=BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度．
故答案为：120．
点评： 考查了翻折变换（折叠问题），垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等．
12．（4分）二次函数y=2x2+4x﹣1的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=﹣2x2﹣4x+1．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．
解答： 解：根据题意，所求的抛物线是﹣y=2x2+4x﹣1，化简得：y=﹣2x2﹣4x+1，
即二次函数y=2x2+4x﹣1的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=﹣2x2﹣4x+1．
故答案为y=﹣2x2﹣4x+1．
点评： 此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．
13．（4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．
考点： 二次函数综合题．
分析： 连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
解答： 解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO=1，BO=3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO•BO=3，
∴CO=，
∴CD=CO+OD=3+，
故答案为：3+．
点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
14．（4分）如图，将半径为2，圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A′O′B′处，则顶点O经过的路线总长为π．
考点： 弧长的计算．
专题： 压轴题．
分析： 仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可．
解答： 解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点P的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA’=AB的弧长
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°
所以，O点经过的路线总长S=π+π+π=π．
点评： 本题关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长．
15．（4分）如图，是y=x2、y=x、y=在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出＜x＜x2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．
考点： 二次函数与不等式（组）．
分析： 先确定出三个函数在第一象限内的交点坐标，y=x与y=在第三象限内交点坐标，然后根据函数图象，找出抛物线图象在最上方，反比例函数图象在最下方的x的取值范围即可．
解答： 解：易求三个函数在第一象限内交点坐标为（1，1），
y=x与y=在第三象限内交点坐标为（﹣1，﹣1），
所以，＜x＜x2时x的取值范围是：﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
点评： 本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是此类题目求解的重要方法．
16．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．
专题： 压轴题．
分析： 如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．
注意点C有两个．
解答： 解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）．
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（0，12）；
（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）．
故答案为：（0，12）或（0，﹣12）．
点评： 本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．
三.全面答一答（本题有8个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC=120°．
（1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）；
（2）求它的外接圆半径．
考点： 作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．
分析： （1）直接作出BC，AB的垂直平分线，进而得出其交点，得出圆心进而得出△ABC的外接圆；
（2）利用等腰三角形的性质得出△ABO是等边三角形，进而求出即可．
解答： 解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
连接AO，BO，
∵AB=AC=8cm，∠BAC=120°，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
又∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO=AO=8cm．
点评： 此题主要考查了复杂作图以及等边三角形的判定以及等腰三角形的性质，得出△ABO是等边三角形是解题关键．
18．（8分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．
（1）求函数图象的对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致图象；
（2）根据图象直接写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
考点： 二次函数的性质；二次函数的图象．
分析： （1）将二次函数配方成顶点式后即可确定其顶点坐标及对称轴；分别令x=0和令y=0求得抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）根据y为负值可以得到其图象位于x轴的下方，由此得解．
解答： 解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴对称轴为直线x=2，顶点为（2，﹣1），与x轴交点为（1，0）和（3，0），
图象为：
．
（2）由图象得：当y＜0时，1＜x＜3．
点评： 本题考查了二次函数的性质，确定二次函数的顶点坐标及对称轴是解决有关二次函数的有关题目的关键．
19．（8分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB=OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB=10，求此时点P的坐标．
考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
分析： （1）根据A（﹣1，0），B（4，0），得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4）．设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），根据点C（0，4）在图象上．可得出a=﹣1．从而得出所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）．即y=﹣x2+3x+4．
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），根据S△PAB=10，列出方程，解方程即可求得x的值，进而求得坐标．
解答： 解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB=4，
∴OC=4，即点C的坐标为（0，4）．
设图象经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上．
∴4=a（0﹣4）（0+1），即a=﹣1．
∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）．
即y=﹣x2+3x+4，
故二次函数解析式为y=﹣x2+3x+4．
（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB=5，
设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），
∵S△PAB=10，
∴×5|﹣x2+3x+4|=10，
解得，x=3，或x=，
∴P的坐标为（3，4）或（）．
点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，解答该题时，注意转化思想的应用．
20．（10分）已知△ABC内接于⊙O，点D平分弧．
（1）如图①，若∠BAC=2∠ABC．求证：AC=CD；
（2）如图②，若BC为⊙O的直径，且BC=10，AB=6，求AC，CD的长．
考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题： 证明题．
分析： （1）由点D平分弧得弧DC=弧DB，根据圆周角定理由∠BAC=2∠ABC得到弧BDC=2弧AC，所以弧CA=弧CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得AC=CD；
（2）连结BD，如图②，根据圆周角定理由BC为⊙O的直径得到∠BAC=∠BDC=90°，在Rt△BAC中利用勾股定理可计算出AC=8；利用弧DC=弧DB得到DB=DC，则可判断△BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到CD的长．
解答： （1）证明：∵点D平分弧，
∴弧DC=弧DB，
∵∠BAC=2∠ABC，
∴弧BDC=2弧AC，
∴弧CA=弧CD，
∴AC=CD；
（2）解：连结BD，如图②，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
在Rt△BAC中，∵BC=10，AB=6，
∴AC==8；
∵弧DC=弧DB，
∴DB=DC，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴CD=BC=5．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
21．（10分）2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由．
考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
分析： 连接OA、OA1，由垂径定理可得：AM=MB=30m，再分别解Rt△AMO、Rt△ONA1即可得出A1B1的长度，将A1B1的长度与30m作比较，若它大于30m，则不需要采取紧急措施；若它小于30m，则需要采取紧急措施．
解答： 解：连接OA、OA1，如下图所示：
由题可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA1=OP=R
OP⊥AB，OP⊥A1B1
由垂径定理可得：AM=MB=30m
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：
AO2=AM2+MO2
即R2=302+（R﹣18）2
解得R=34m
∵PN=4m，OP=R=34m
∴ON=30m
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：
A1N2=A1O2﹣ON2
可得A1N=16m
故A1B1=32m＞30m
故不用采取紧急措施．
点评： 本题考查了垂径定理在实际问题中的运用，另外，求是否采取紧急措施要转换为A1B1的长度是否大于30m．
22．（12分）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
考点： 二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；
（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．
解答： 解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为台，
由题意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式组的解集是11≤x≤15，
∵x为正整数，
∴x可取的值为11、12、13、14、15，
所以，该商家共有5种进货方案；
（2）设总利润为W元，空调的采购数量为x台，
y2=﹣10x2+1300=﹣10+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，
=30x2﹣540x+12000，
=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
点评： 本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．
23．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴方程；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），即可求出抛物线的对称轴；
（2）分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的值，进而求出使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）分别写出C点和D点的坐标以及E点的坐标，再进行分类讨论证明△EHF≌△EKC，列出a的方程，解出a的值．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴x==1；
（2）当∠ACB=60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y=a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入，
解得a=；
当∠ACB=90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y=a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入，
解得a=，
即当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，≤a≤；
（3）由于C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
即，
解得k=﹣a，b=﹣3a，
直线CD的解析式为y=﹣a（x+3），
故求出E点坐标为（﹣3，0）；
分两类情况进行讨论；
①如图1，△EHF≌△FKC，
即HF=CK=3，
4a+1=3，
解得a=；
②如图2，△EHF≌△EKC，
即EK=HF=3；
即4a=3，解得a=；
同理，当点F位于y轴负半轴上，a=
综上可知在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，且a=、a=或a=
点评： 本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是能够利用数形结合进行解题，此题的难度较大，特别是第三问需要进行分类讨论解决问题．下载本文
