已知：绳长为l，半径为r，滑轮质量不计，，的坐标分别为，。试求两物体的加速度，。
1、牛顿方程：
对于：
g－＝ ①
g－＝ ②
＝－ ③
＝ ④
＝－＝
分析：
当＞时
＝－＝
当＜时
＝－＝
当＝
＝－＝0
2、拉格朗日方程
势能零点为坐标轴X轴零点处
T＝－
＝－
＝
U＝
（广义动量）
（广义力）
固有：
3、达朗伯原理
首先，推导虚功原理
虚位移：
虚功（约束力）=0理想约束
在牛顿力学中有，当=时
虚功原理：（平衡条件）
拉格朗日平衡：
如果一个系统处于平衡状态，则势函数有极值，有极小值则出现稳定平衡且稳定平衡是力学中存在的平衡。
动力学原理：
达朗伯原理：
4、哈密顿方程
①广义动力
同理有，
即是：同理有，
②勒让德变换
设函数令，
对于函数的全微分
令
①
而 ②
由①②可以得：
在拉格朗日方程中：
哈密顿函数
（为共轭变量）
③
④
由拉格朗日得 ⑤
⑥
由③④⑤⑥可以得到：
（广义力）
（广义速度）
由哈密顿求解阿特伍德机：
故由哈密顿方程可以得到：
分析力学的优点：消去“理想约束”减少方程数量，进而减少计算量。
1、简单易于理解，是从牛顿力学中吸取精华升华而成。
2、不象牛顿力学那样，用于不同坐标时形式有所不同，其间变换复杂易出错，而且牛顿力学有多少个研究对象就有多少个方程，需要很繁杂的分析理解过程还有要列出很多很繁杂的方程组，对于系统内研究对象很多的情况下，几乎是没有办法求解的；分析力学从整体入手，纵观全系统，只需找出系统的势能和动能，做出拉格朗日函数并对广义速度和广义坐标求偏导就可以了。
3、拉格朗日和达朗伯虚功原理以及哈密顿方程既是对牛顿力学的运用，又是牛顿力学的升级，能简单快捷的解决复杂问题。
4、较拉格朗日和虚功原理而言，我觉得哈密顿方程又有一定的优越性，至少其可以被定义，而且有意义。
5、几种方法都有 各自的优点和缺点，我们在运用的时候就应该作适当选择，以简化分析、运算，提高解题速度和质量。下载本文
