（第课时）

重点：1．；2．；3．。

难点：1．；2．；3．；。

1．；2．；3．。

1．；2．；3．。

定值问题一般颇有难度，由于在解题之前一般并不知道这个定值究竟是多少，因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时，要在“变”中寻求“不变”，利用特殊值、特殊位置、特殊图形等先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性问题，从而找到突破口。另外，有许多定值问题，通过特殊值法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

例（1978年高考理科题）.（高一）求证：不论为何实数值，函数的图像的顶点都在同一直线上。

分析：求出顶点的轨迹方程，看其是否为直线。

解：函数的图像为抛物线，其顶点坐标为，

即，两式相减得，

∵ 方程中不含，∴ 不论为何值，抛物线顶点都在直线上。

点评：本题为动抛物线的顶点在定直线上。

例.（高一）求的值与无关的充要条件。

解法一(特殊值法)：

∵ 原式与无关，∴ 可令取一些特殊值，例如0、-、，代入题给三角式得：

由得,

∴；

由得,

又,∴,∴,

故所求的必要条件为。

下面再证为充分条件：

∵

∴

  （此值与无关，故为定值）

综上所述，原式与无关的充要条件为。

解法二（常规解法，较繁）：

将与分离，然后令含的项为零，即可求出充要条件。

与无关的充要条件是  ,

解之得。

点评：本题为三角式的值与某角无关。有的同学取特殊值时只取了两个，导致条件式比较复杂。

例.（高三）已知两个数列的通项分别为， ,问能否找到一个正实数，使得为一常数？如果没有，请说明道理，如果存在，则求出与该常数。

解：若存在一个正实数，使得为常数，则必有：

令的系数得，

此时，

∴ 存在  ，使  为常数11。

点评：本题为求参数使某量为定值。

例.（高三）PQ为圆内一定弦（非直径），求证：所有被PQ平分的弦所在的直线都与同一条抛物线相切。

分析：如图，不难看出，这个抛物线一定以轴为对称轴，开口向左，顶点为（a，0）。

证明：选取坐标系，使圆的方程为，直线PQ的方程为 。

设一弦被点平分，显然（否则弦就是PQ自身），

由于此弦与OA垂直（因为A是弦的中点），故其斜率为，其所在直线的方程为： 

  ⑵

我们来求形如  ⑶ 的抛物线，使它对区间内的任何点，都与直线⑵相切，为此，由方程⑵和⑶消去得到：

相切条件为这个方程的判别式

  且，

即  （，而已知有PQ非直径，故）,

∴ 被PQ平分的弦所在的直线都与抛物线相切。

点评：本题为动直线与定抛物线相切。

例.（高三）过椭圆的一焦点弦AB，且设过AB中点M的中垂线交长轴于Q，求证： 为定值。

分析：不妨设，F为其左焦点，以F为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，如图，则题给椭圆的极坐标方程为，

设， ，则:

   ⑴ 

又在直角中，

，其中,

    ⑵

⑵⑴得  （为常数）

点评：本题为线段比为定值。

例.（高三）证明：若直线截椭圆所得线段为定值，则必平行于此椭圆系的中心连线。

证明：设的方程为，它与椭圆交于两点、，

由得：

∴, ，

则

令上式中含的项的系数等于零得，

解之得，

又椭圆中心连线方程为，即，其斜率为2，故平行于椭圆中心连线。

点评：本题为由定值求直线。

例.（高三）在直角坐标系中，一条动直线与两坐标轴相交，证明：

⑴ 若截距的倒数和是不为零的常数，则该直线恒过一定点。

⑵ 若截距的差与动直线以及轴轴围成的三角形面积成正比，则该直线恒过一定点。

证明：设动直线方程为    ①

⑴ 若  （为常数且）

则，把此式与⑴式比较，易知点满足①式，这就说明满足条件“截距的倒数和是不为零的常数”的动直线①恒过定点。

⑵ 设  （为常数且）

则或，

则或，

不难看出，点或满足①式，这就是说，满足条件“截距的差与动直线以及轴轴围成的三角形面积成正比”的动直线①恒过定点或。

点评：本题为直线过定点。有的同学在第⑵小题中只写。

例.（高三）已知抛物线的焦点为F，过F作弦AB，若弦长为， AOB的面积为S，求证：为定值。

分析：为了求证为定值，可将问题分为三步：

⑴ 求；⑵ 求S ；⑶ 求，并把他们用已知量表示。

证明：设A、B点的坐标分别为、，AB的倾斜角为，

当  时，直线AB的方程为，与联立消去得： ，

∴, ,

如图， 

原点O到AB的距离：

    （）

∴为定值，

当  时， ，

，

∴为定值。

点评：本题为三角形面积与边长之比为定值。有的同学把看成常量。

例.（高三）已知P是双曲线上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。

分析：首先探索定值，取P，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点，其斜率，

∴， PP2的方程为，

把代入解得，∴（定值）。

证明：设PP1的斜率为，则PP2的斜率为 －，

∴ PP1的方程为，PP2的方程为，

与抛物线联立解得、，

从而（定值）。

点评：本题为直线倾斜角为定值。

例.（高三）设A（）是椭圆上一点，过点A作一条斜率为直线，d为原点O到的距离，、分别为点A到两焦点的距离，求证：为定值。

分析：先探索定值，取点A（0，1）则切线， 此时，从而=。

解：如图，的方程为，

即，

又，∴的方程为，

又， ，

∴。

点评：本题为线段积为定值。

解： 

不论为何值，此方程表示抛物线，其顶点为，

消去得。

点评：本题为抛物线顶点在定椭圆上。

4.（高三）若不论取何值，直线： 与抛物线： 恒相切，求、、之值。

解：由和的方程消去得： ，

∵和相切，又由的方程可知不为∞，

∴，

即，

上式对于一切恒成立，

∴  ，

解之得， ， 。

点评：本题为动直线与定抛物线相切。有的同学未声明不可能出现如图所示的情况。

5.（高三）己知椭圆（a>b>0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。

分析：探索定圆  取长轴和短轴为两直径，则的方程为，原点O到直线的距离为，则与菱形内切的圆方程为。

证明：设直径P1P2的方程为  ，则Q1Q2的方程为，

∴  ，解之得，

∴，同理 OQ22= ，

作OH⊥P2Q2  ，

则  ，

又四边形P1Q1P2Q2是菱形，∴ 菱形P1Q1P2Q2必外切于圆。

点评：本题为四边形与定圆相切。

6.（高三）P是双曲线上的一点，过顶点作与OP平行的直线分别交双曲线和轴于Q、R两点，求证： 为定值。

分析一：要证为定值，可以先

探求其定值是什么。

如图，可将点P、Q放在特殊位置A、B上，

则R与O重合，此时

然后再证它的一般性。

证法一：（略）

证法二：设，过P、Q分别作

PC、QB垂直于轴于C、B。

∵OPC∽AOR ，∴   ⑴

又  ，

∴ AQ方程为

代入双曲线方程消去得Q点坐标为，

又∵ABQ∽OPC

∴    ⑵

⑴⑵得为定值。

点评：本题为证线段比为定值。

7.（高三）设A、B是抛物线上两点，且满足∠AOB=900。O为坐标原点，求证：直线AB

过定点，并求定点坐标。

分析：首先探索定值，当AB与x轴垂直时，设垂足为M，由∠AOB=900 及抛物线的对称性可得∠AOM=450,此时可求得点M（2p,0）。

证明：设A(),  B()，则

，

又OA⊥OB     ，  ，

而，∴，

∴ AB的方程为  ，即 （），

∴ 所以直线AB恒过定点M（2p，0） 。

点评：本题为直线恒过定点。

8.（高三）从椭圆  上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，以A、B为切点的直线与 轴和 轴分别交于P、Q两点，求证为定值。

分析：关键是求出AB所在的直线方程，所以设M（ ），M点在以短轴为P直径的圆外，想到从圆外一点向圆引切点，过两切点的直线方程的求法。

证明：设，切点， ，以椭圆的短轴为直径的圆的方程为，则两切线方程分别为，， ，， 

∵ 两切线都过点，∴，， ，，

这说明A、B都在直线上 ，

∴ AB的方程为，由此可得 P（，0），Q（0，） ，

∴，

∵ 点M在椭圆上，∴，即，

故得（定值）。

点评：本题为关于线段的表达式为定值。注意充分利用点在椭圆上这一条件。此外，直线AB的方程也可由下列方法得到：写出以M为圆心，以MA为半径的圆，

即 。下载本文