数学（理）试题

第Ⅰ卷  选择题（共50分）

一、选择题 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共10小题,每小题5分,共50分）

1.若复数为纯虚数,则的虚部为（    ）

A.         B.         C.        D. 

2.若,则（    ）

A.     B.        C.        D. 

3.设是两个实数,命题“中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（   ）

    A.    B.    C.    D. 

4.设函数,将的图像向右平移个单位,使得到的

图像关于对称,则的最小值为（    ）

    A.           B.    C.         D. 

5.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（    ）

A.       B.       C.10         D.20

6.如右图,在多面体中,已知面是

边长为3的正方形, , ,与

面的距离为2,则该多面体的体积为（    ）

A.      B.5      C.6       D. 

7.已知函数的定义域为,且满足,

为的导函数,又知的图象如右图所示,

若两个正数满足, ,则的取

值范围是（    ）

    A.    B.   C.    D. 

8.已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(     )

      A.    B.          C.         D. 

9.已知是定义上的不恒为零的函数,且对于任意实数满足

, , , ,

考察下列四个结论 ①； ②为偶函数； ③数列为等比数列；

④数列为等差数列。  其中正确的结论是(    )

A.①③④         B.①②③          C.①②④         D.①④

10.在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量,从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为,在区间和分别各取一个数,记为和,则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（    ）

A.         B.          C.         D. 

 第Ⅱ卷  非选择题（共100分）

二、填空题 把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题,每小题5分,共25分）

11.如右图所示的流程图中，循环体执行的次数是       .

12.为了做一项调查,在、、、四个单位回收

的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位

分层抽取容量为100的样本,若在单位抽取20份

问卷,则在单位抽取的问卷份数是        .

13.如右图所示,过抛物线的焦点的直线与

抛物线和圆交于四点,

则        .

14.抛物线与其过原点的切线所围成的图形面积为        .

15. 选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分）

A.（选修4—5 不等式选讲）已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是        .

B.(选修几何证明选讲）如图,正方形

的边长为,延长至,使,连接、

,则         .

C.（选修4—4坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,曲线的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程为.点在曲线上,则点到直线的距离的最小值为        .

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题,共75分）

16.（本小题满分12分）已知锐角中内角、、所对边的边长分别为、、,满足,且.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）设函数,图象上相邻两最高点间的距

离为,求的取值范围.

17.（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数

.

（Ⅰ）从中任意拿取张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；

（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数的分布列和数学期望.

18.（本小题满分12分）定义为个正数的“均倒数”.

已知各项均为正数的数列的前项的“均倒数”为.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

  (Ⅱ)设,试求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）在四棱锥中, ,,平面,

,为的中点。

(Ⅰ)求证平面；

(Ⅱ)平面内是否存在一点,使平面？

若存在,确定点的位置；若不存在,请说明理由。

20.（本小题满分13分）设分别为直角坐标系中与轴、轴正半轴同方向的单位向量,若向量且.

(Ⅰ)求点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设抛物线的顶点为,焦点为.直线过点与曲线交于两点,是否存在这样的直线,使得以为直径的圆过点,若存在,求出直线方程；

若不存在,请说明理由？

21.（本小题满分14分）已知函数,.

（Ⅰ）若恒成立,求实数的值；

（Ⅱ）设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.

2014年普通高等学校招生全国统一考试适应性训练

数学（理科）参

一．选择题：

1.C   2.A   3.B   4.B   5.C   6.D   7.D   8.D   9.A   10.C

二．填空题： 

11. 49      12. 40      13. -1    14. 

15.  A.       B.      C. 

三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为,由余弦定理知

所以                                                ………2分

又因为,则由正弦定理得，

所以，所以                             ………6分

(Ⅱ) 

    由已知,则                        ………8分

因为, ,由于,所以       ………10分

所以，根据正弦函数图象,所以            ………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）为奇函数，为偶函数，为偶函数，为奇函数，为偶函数，为奇函数         ………3分

所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为                                       ………6分

(Ⅱ)可取1，2，3，4． 

，

；       ………9分

故的分布列为

18．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ) ∵    ……3分

当时,  当时也成立,     ……6分

 (Ⅱ)  （1）

      （2）             ………9分

由（1）-（2）得

         　　　                           ………12分

19、（本小题满分12分）

(Ⅰ)证明　如图，取PD中点E，连接EM、AE，

∴EMCD，而ABCD， ∴EM//AB

∴四边形ABME是平行四边形 ， ∴BM∥AE

∵AE⊂平面ADP，BM⊄平面ADP，  

 ∴BM∥平面PAD                                                  ………5分

(Ⅱ)解　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD

∵PA＝AD，E是PD的中点，∴PD⊥AE，AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABME

作MN⊥BE，交AE于点N， 则MN⊥平面PBD

易知△BME∽△MEN，而BM＝AE＝，EM＝CD＝1，

由＝，得EN＝＝＝，∴AN＝， 即点N为AE的中点 。  ………12分

20. （本小题满分13分）

解：（1）∵，则，

由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）    ……5分

   （2）因抛物线方程为：，故.

当直线轴时，不合题意。

当直线不垂直于轴时，设直线方程为：， 

                                   ………7分

设A,B，且△>0恒成立，

又∵  ………10分

 可得：， 故所求的直线方程为：   ………13分

21、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）令，则．       

所以即恒成立的必要条件是， 

又，由得：．         …………4分

当时，，知，

故，即恒成立．                …………6分

（Ⅱ）由，得

．                       …………8分

有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：

，  解得 ．                         …………10分

由，得，其中.

所以．　　　                  …………12分

设，得，

所以，即．         …………14分下载本文