1．设矩阵A =，B =，则A + 2B =

.2．设向量，，，，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ). 

3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b的解，k1，k2为常数，若k1α1+ k2α2也是Ax = b的一个解，则k1+k2 = (    ).

4．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则(2A)-1必有一个特征值为(   ).

5．若实对称矩阵A =为正定矩阵，则a的取值应满足(     ).

二、单选题(每小题3分，共15分)

1．设行列式= 1， = 2，则= (   D   ).

(A) -3        (B) -1        (C) 1    (D) 3

2．设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)-1 =，则A = (    D    ).

(A) 2       (B) 2     (C)      (D) 

3．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出(   C   ).

(A) α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量

(B) α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例

(C) α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合

(D) α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

4．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1| = (    A   ).

(A)      (B)       (C) 7    (D) 12

5．设3阶实对称矩阵A与矩阵B =合同，则二次型xTAx的规范形为(    B   ).

(A)    (B)    (C)       (D) 

三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.

1．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则(ABC)T = ATBTCT.         (   ×   )

2．设A为3阶方阵，且已知|-2A| = 2，则|A| = -1.              (    ×   )

3．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关.                                                 (   √   )

4．设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E| = 0，则A必有一个特征值为.  (   ×  )

5．二次型的矩阵为.    (    ×   )

四、 (10分) 求4阶行列式的值.

解：

五、(10分) 设2阶矩阵A可逆，且A-1 =，对于矩阵P1 =，P2 =，令B = P1AP2，求B-1. 

解：由已知，有= ，. 由于，于是. 

六、(10分) 设向量组，，，，试确定当t为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.

解： 

,

于是，只有在t – 2 = 0, 即t = 2时，进而线性相关. 此时，可选为极大无关组

七、(15分) 设线性方程组

    (1) 问a为何值时，方程组有无穷多个解. 

(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 

解： (1) 将增广矩阵B化为 

. 

若，则，原线性方程组只有唯一解. 只有在a = 1时，原线性方程组有无穷多个解. 

(2) 当a = 1时，原线性方程组与同解. 取为自由未知量，令得特解为. 分别令的基础解系为. 于是通解为

，其中为任意常数.

八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠ λ2.

证明p1- p2不是A的特征向量.

证明： 假设是A的对应于的特征向量，即. 由于 

，

所以，于是0. 根据特征值的性质，知，进而，矛盾下载本文