现代控制理论MATLAB仿真
大作业报告
题 目 带状态观测器的控制系统综合设计与仿真
项目成员
专业班级
指导教师 何小其
学 院 信息科学与工程学院
完成日期 2015年6月18日
带状态观测器的控制系统综合设计与仿真
摘要：状态重构器是根据系统的外部输入和输出变量的实测值，得出状态变量估计值的一类动态系统。60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。
关键字：系统，状态空间，matlab，稳定性，反馈，矩阵，增益，指标，仿真
1 主要技术参数
1.1 某一DC电机控制系统
图1 受控系统方框图
1.2 性能指标要求
1.2.1 动态性能指标
超调量 ；
超调时间 秒；
系统频宽 ；
1.2.2 稳态性能指标
静态位置误差（阶跃信号）；
静态速度误差（数字信号）；
2 设计思路
⑴按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型；
⑵对原系统在simulink下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较；
⑶根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点；
⑷假定系统状态均不可测,通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构；
⑸通过状态反馈法对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性能指标；
⑹合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标；
⑺在simulink下对经综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性能指标的要求。
3 状态空间描述
3.1 选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型
由选定的电机控制系统要求可以写出如下关系式：
由上方程可得：
即
拉式反变换为
输出由图可知为
则传递函数的状态空间表达式可写为：
3.2 使用Matlab得到状态空间表达式
在Matlab中输入如下语句也得到状态空间表达式
k=50;z=[];
p=[-5 -10 0];
sys=zpk(z,p,k);
G1=ss(sys)
运行程序可以得到状态变量的空间数学模型
G1 =
4 对原系统仿真并比较性能指标
原受控系统仿真图如图2所示：
图2 原受控系统仿真图
原受控系统的阶跃响应如图3所示：
图3 原受控系统的阶跃响应曲线
很显然，原系统是不稳定的。
5 根据性能指标确定系统一组期望极点
由于原系统为三阶系统，应该有三组期望极点，为了计算的方便引入两个共轭的主导极点S1、S2和一个远极点S3。由系统要求的性能指标：超调量 ，超调时间 秒，系统频宽 。可以计算求得着三个期望极点，具体过程如下。
由二阶系统的各项性能指标公式
式中，和为此二阶系统的阻尼比和自振频率。
可以求得：
由，可得，从而有，于 是选。
由，得
由和已选的得，与的结果比较。可以确定=9.8。这样，便定出了主导极点
远极点的实部应为主极点的实部的5倍以上，故选取S3=100。
6 通过状态反馈法对系统进行极点配置
6.1 引入状态负反馈K
已知能控性判别矩阵为：
则
由上式知，因为满秩，原系统是完全能控的。
受控系统的特征多项式为:
受控系统期望的特征多项式为：
于是矩阵为:
非奇异变换矩阵为：
非奇异变换矩阵为：
于是状态反馈矩阵为：
6.2 验证状态负反馈系统的稳定性
在原来的开环系统中加入状态反馈可以改变系统的动态性能，状态反馈环节的添加如下图4所示：
图4 加入状态反馈的系统结构图
根据示波器显示观察的图像如图5所示
图5 加状态负反馈系统输出波形
显然看出系统的动态指标不能达到要求，因此还应该调整系统的放大倍数K1来达到稳态性能要求。
6.3 使用Matlab程序求矩阵K
A=[-5 0 0;10 -10 0;0 1 0];b=[5;0;0];c=[0 0 1];
pc=[-6.93+6.93i,-6.93-6.93i,-100];
K=acker(A,b,pc)
运行结果为
K =
19.7720 8.8690 192.0996
7 合理增加比例增益，使系统满足稳态指标
将原有闭环传递函数乘以比例增益K1，对应的闭环传递函数为
所以由要求的跟踪阶跃信号的误差，有
解方程，求得。
对上面的初步结果，再用对跟踪速度信号的误差要求来验证，即
显然满足的要求，故。
7.1 放大系数改变后系统动态性校验
状态反馈改变放大倍数后的仿真图如图6所示
图6 放大倍数改变后的状态反馈图
示波器的显示图像如图7所示
图7 闭环系统的阶跃响应曲线
7.2 控制系统阶跃响应指标
图7的局部放大图以及超调量、超调时间、峰值大小如图8所示
图8 闭环系统阶跃响应曲线局部放大
由仿真图得：，，均满足要求。
8 设计全维观测器
当系统的状态完全能控时，可以通过状态的线性反馈实现极点的任意配置，但是当系统变量的物理意义有时很不明确，不是都能用物理方法测量的，给状态反馈的实现造成困难。为此，人们就提出了所谓的状态观测器或状态重构问题，创造一个新系统，以原系统的输入和输出为输入，输出就是对原系统状态的估计。
8.1 判断观测器的能观性：
根据给定的受控系统，可以写出能观性判定矩阵
只需判断其是否满秩
即
所以系统完全能观，又因之前以求得系统是完全能控的，所以系统即完全能控、又完全能观测。因此，系统的极点可以任意配置。
8.2 计算观测器的反馈矩阵L
该设计中系统的极点为：
取观测器极点,是观测器的收敛速度是被控系统收敛速度的3倍。如果仅仅对闭环极点乘以3，则阻尼比和最大超量不变，而系统上升时间和稳定时间将缩小到原来的。因此，选择
假设全维观测器反馈矩阵为：
期望的特征多项式可以写为：
实际的特征多项式求解：
闭环观测器的特征多项式为：
可以列出等式：
解得：
8.3 得到观测器的状态方程
因此观测器状态方程为:
可以写为另一种形式：
8.4 对所得到的状态方程进行仿真验证
由上面计算得出的带观测器状态反馈的闭环系统方框图如图9所示
图9 带观测器状态反馈的闭环系统方框图
8.5 用Matlab求解矩阵L
同样可以采用Matlab求得所需要的L矩阵：
>> A=[-5 0 0;10 -10 0;0 1 0];
>> b=[5;0;0];
>> C=[0 0 1]
>> r0=rank(obsv(A,C))
>> A1=A';b1=C';C1=b';
>> P=[-360 -20.79 -20.79];
>> K=acker(A1,b1,P);
>> L=K'
r0 = 3
L =1.0e+03 *
8.8510
9.5523
0.3866
9 在simulink下对经综合后的系统进行仿真分析
在simulink 环境下对控制系统进行仿真分析得到图10如下
图10 带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线
检验系统的跟随性能如下图加入示波器
各个部分的响应曲线如下图所示
图11 各状态阶跃响应曲线
其中实线代表原系统，叉号代表加观测器后的曲线，观测器的各状态的阶跃信号与原状态反馈系统的信号完全相同，可见观测器的跟随性能很好。
10 课程设计心得体会
《现代控制理论》是一门工程理论性强、比较深奥难懂的书目，概念抽象，计算的部分比较多。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的，它大量使用矩阵论中深奥的内容，比如线性变换、子空间等，是分析中最常用的核心的内容，要深入理解，才能体会其物理意义。另外，有良好的线性代数基础也显得尤为重要。
对于期末大作业，我们组员也是无从下手。通过多方资料查询，一步一步编写程序，最终完成了这项任务。通过此次课程设计，让我们有机会将现代控制理论、自动控制原理以及Matlab的相关知识结合起来，能够解决一个具体的问题，让我们对这些科目有了更加深入的认识。
在课程设计中，想要得到要求的数据，必须合理的估计好每一个细小的数据。每次在参数的选择时都会碰到相应的问题，有些数据明明满足计算出来的理论要求，可是最终仿真分析时，不是超调量不合适就是峰值时间不能满足要求，这就需要耐心的调试和更改，虽然这个过程很枯燥麻烦，但最终还是得到了我们想要的结果。
此次课程设计的难点我认为在系统期望极点的选择上。因为如果极点都无法满足要求那么后面的所有计算都不可能正确。如果直接按照三阶系统设计，没个参数的确定过程将会很复杂。然而如果巧妙的运用了主导极点和远极点的相关知识，先构造一个二阶系统，则各个参数计算过程都变得简单。
在课程设计过程中我们同样体会到了Matlab在现代控制理论计算中的强大功能，无论是状态空间描述、K矩阵的确定、L矩阵的确定、系统的仿真、超调量超调时间的计算等几乎所有的问题的可以用Matlab语言实现。
在完成了整个课程设计后，我不由的感叹要学好一门课程并不是仅仅停留在会解题上，而是要学会设计、分析、仿真来解决问题。
参考文献：
[1]李素玲，胡建，《自动控制原理》[M]，西安电子科技大学出版社
[2]谢克明，李国勇，《现代控制理论》[M]，清华大学出版社
[3]胡健，刘丽娜，《MODERN CONTROL THEORY》[M]， 国防工业出版社
[4]飞思科技产品研发中心 ，《MATLAB 辅助控制系统设计与仿真》[M]，电子工业出版社
[5]赵文峰，《控制系统设计与仿真》[M]，西安电子科技大学出版社
[6]赵光宙，《自动控制原理》[M]，机械工业出版社，2013年下载本文
