第21章一元二次方程

一．选择题（共20小题）

1．（2016•扬州）已知M=

a ﹣1，N=a 2

﹣

a （a 为任意实数），则M 、N 的大

小关系为（ ）

A ．M ＜N

B ．M=N

C ．M ＞N

D ．不能确定 2．（2016•）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）

A ．

B ．

C ．2﹣

D ．4﹣2

3．（2016•台州）有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）

A ．

x （x ﹣1）=45 B ．

x （x+1）=45 C ．x （x ﹣1）=45 D ．x （x+1）=45

4．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ）

A ．20（1+2x ）=28.8

B ．28.8（1+x ）2

=20

C ．20（1+x ）2=28.8

D ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2

=28.8 5．（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面

积为18m 2

，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）

A ．（x+1）（x+2）=18

B ．x 2

﹣3x+16=0 C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18 D ．x 2

+3x+16=0 6．（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥

7．（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）

A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5

8．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）

A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2

9．（2016•江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）

A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1

10．（2016•威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）

A．B．﹣C．4 D．﹣1

11．（2016•凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（）

A．B．C．D．

12．（2016•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相

等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5

13．（2016•烟台）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（）

A．﹣1 B．0 C．2 D．3

14．（2016•广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m

＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．与m有关

15．（2016•玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、

x2，则m2（）=（）

A．B．C．4 D．﹣4

16．（2016•黄冈）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（）

A．﹣4 B．3 C．D．

17．（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）

A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=218．（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1

19．（2016•莆田）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

20．（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一

辑）第21章一元二次方程

参与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．（2016•扬州）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大

小关系为（）

A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定

【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．

【解答】解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），

∴，

∴N＞M，即M＜N．

故选A

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2．（2016•）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（）

A．B．C．2﹣D．4﹣2

【分析】设出丁的一股为a，表示出其它，再用面积建立方程即可．

【解答】解：设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，

∴2a+2a=×22+×a2，

∴4a=2+a2，

∴a2﹣8a+4=0，

∴a===4±2，

∵4+2＞2，不合题意舍，

4﹣2＜2，合题意，

∴a=4﹣2．

故选D．

【点评】此题是一元二次方程的应用题，主要考查了一元二次方程的解，解本题的关键是列出一元二次方程．

3．（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）

A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45

【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）

场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．

【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为x（x﹣1），

∴共比赛了45场，

∴x（x﹣1）=45，

故选A．

【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．

4．（2016•随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）

A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．

【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C．【点评】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

5．（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）

A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x ﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．

【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有

（x﹣1）（x﹣2）=18，

故选C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．

6．（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9

【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

7．（2016•枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）

A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5

【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，

∴﹣2+m=，

解得，m=﹣1，

故选B．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．

8．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）

A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2

【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m 的值即可．

【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，

解得：x2=﹣4，m=2，

则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，

故选D

【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

9．（2016•江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（）

A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1

【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．

【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，

∴αβ=，

故选D．

【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．

10．（2016•威海）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是（）

A．B．﹣C．4 D．﹣1

【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．

【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，

∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，

解得a=2，b=﹣，

∴b a=（﹣）2=．

故选：A ．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

11．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2

=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2

=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系

可得出x 1+x 2=﹣

，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．

【解答】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2

=6﹣2x 的两根，

∴x 1+x 2=﹣

=﹣

，x 1•x 2=

=﹣2，

∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=

．

故选D ．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=

﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．

12．（2016•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2

﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相

等的实数根分别为a 和b ，且a 2

﹣ab+b 2

=18，则

+的值是（ ）

A ．3

B ．﹣3

C ．5

D ．﹣5

【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p ，利用完

全平方公式将a 2﹣ab+b 2=18变形成（a+b ）2

﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p 的一元一次方程，解方程即可得出p 的值，经验证p=﹣3符合题意，再

将

+

变形成

﹣2，代入数据即可得出结论．

【解答】解：∵a 、b 为方程x 2

﹣3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根， ∴a+b=3，ab=p ，

∵a 2﹣ab+b 2=（a+b ）2﹣3ab=32

﹣3p=18， ∴p=﹣3．

当p=﹣3时，△=（﹣3）2

﹣4p=9+12=21＞0， ∴p=﹣3符合题意．

+

=

=

=

﹣2=

﹣2=﹣5．

故选D ．

【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

A．﹣1 B．0 C．2 D．3

【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．

【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，

∴x1+x2=﹣=2，x1•x2==﹣1．

x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系找出两根之积与两根之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系，找出两根之和与两根之积是关键．

14．（2016•广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m

＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）

A．0 B．1 C．2 D．与m有关

【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b⋆b

﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．

【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，

∴a+b=1，ab=m．

∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本

题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．

15．（2016•玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、

x2，则m2（）=（）

A．B．C．4 D．﹣4

【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．

【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，

∴，

∴则m2（）===﹣4．

故答案选D．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．

16．（2016•黄冈）若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（）

A．﹣4 B．3 C．D．

【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=，x1•x2=﹣”，

由此即可得出结论．

【解答】解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2=﹣=，x1•x2==﹣．

故选D．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=﹣=，

x1•x2==﹣”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

17．（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）

A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2

【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣2”，再结合四

个选项即可得出结论．

【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，

∴x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣2，

∴C选项正确．

故选C．

【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1•x2=

﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

18．（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1

【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，

解得m≥1，

故选C．

【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．

19．（2016•莆田）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根

【分析】先计算判别式的值，然后非负数的性质和判别式的意义判断方程根的情况．

【解答】解：∵△=a2+4＞0，

∴，方程有两个不相等的两个实数根．

故选D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．

20．（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，

∴△=42﹣4k=0，

解得：k=4，

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．下载本文