（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．
2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．
（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．
（1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB 时，求k
1的值；
（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB 于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长
参
一．解答题（共36小题）
【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；
（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠ PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、
△Q″BP∽△
PAT．
【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．
∵∠OPA=45°，
∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得
解得．
，
故直线AB的解析式为y=x+2；
2
2（2）如图①，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂
足为D ，根据条件可知△QDC 为等腰直角三角形，则QD=QC ．
设Q （m ，m 2），则C （m ，m+2）．
∴QC=m+2﹣m 2
=﹣（m﹣ ）+ ，QD= QC= [﹣（m﹣ ）+ ]．
故当m= 时，点Q 到直线AB
的距离最大，最大值为；
（3）∵∠APT=45°，
∴△PBQ 中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．
①如图②，若∠PBQ=45°，过点B 作x 轴的平行线，与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F ．此时满足∠PBQ′=45°．
∵Q′（﹣2，4），F （0，4），
∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT 也是等腰直角三角形．
（i ）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；
（ii ）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．
②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F 为圆心，FB 为半径作圆，则P 、B 、Q′都在圆F 上，设圆F 与y 轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n ，n 2）（﹣2＜n ＜0），由FQ″=2，得
n 2+（4﹣n 2）2=22，即n 4﹣7n 2+12=0．
解得n 2=3或n 2=4，而﹣2＜n ＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，
所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=
∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠
PBQ″=30°．
（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET= AE= ，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；
（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG= TG= a，AP=，
∴ a+a= ，解得PT= a=
﹣1，
∴OT=OP﹣PT=3﹣，
∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或
t=3﹣．
2．
【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到
OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO与△BHO中，
，
∴△ADO≌△BHO
（AAS），∴OH=OD，又
∵OA=OB，∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示，
∵AO是半径，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，在
Rt△ADB与Rt△BHA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴= ，
∴BA2=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA2，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，∵直径BC=8，BD=x，
∴AB2=8x，则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，∴
BE•BH=y，
∵△BED∽△BOH，
∴= ，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x=y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，
∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴
= ，
∵AB 2=8x ，AB=AF ，
∴，∴AF=2
x
，=
解得：x=3±
，∵3+＞4，舍去，∴BD=3﹣
．3．
【分析】（1）先通过解直角三角形求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB 的解析式；
（2）作DE ∥OA ，根据题意得出
= = ，求得DE ，即D 的横坐标，代入AB 的解析
式求得
纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k 1；
（3）根据勾股定理求得AB 、OE ，进一步求得BE ，然后根据相似三角形的性质求得EF 的
长，从而求得FM 的长，得出F 的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k 2．
【解答】解：（1）∵A （3，0）、B （0，m ）（m ＞0），
∴OA=3，OB=m ，
∵tan ∠BAO=
=2，∴m=6，
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，代入A （3，0）、B （0，6）得：
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6；（2）如图1，∵AD=2DB，
∴= ，
作DE∥OA，
∴==，
∴DE=OA=1，
∴D的横坐标为1，
代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），
∴k
1
=1×4=4；
（3）如图2，∵A（3，0），B（0，6），
∴E（，3），AB==3，
∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，
∴OE= AB=，BE=，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为，
∵△OEF∽△OBE，∴=，
∴，∴EF=，
∴FM=3﹣=．∴F（，），
∴k2=×=．
