一  知识点

  1. 双曲线第一定义：

    平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

  2. 双曲线的第二定义：

    平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

  3. 双曲线的标准方程：

    （1）焦点在x轴上的：

    （2）焦点在y轴上的：

    （3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

    注：c2＝a2＋b2

  4. 双曲线的几何性质：

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

    线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

    线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

    e越大，双曲线的开口就越开阔。

     5．若双曲线的渐近线方程为：

    则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

【典型例题】

  例1. 选择题。

    A. 必要但不充分条件            B. 充分但不必要条件

    C. 充分必要条件                D. 既不充分也不必要条件

    A. 焦点在x轴上的椭圆        B. 焦点在y轴上的椭圆

    C. 焦点在y轴上的双曲线        D. 焦点在x轴上的双曲线

则△F1PF2的面积为（    ）

 例2. 

 例3. 已知B（-5，0），C（5，0）是△ABC的两个顶点，且

，求顶点A的轨迹方程。

  例4. （1）求与椭圆的双曲线的标准方程。

    （2）求与双曲线的双曲线的标准方程。

例5. 

    （1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；

    （2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

  例六：1. 若表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是（    ）

    A.         B. （0，2）        C.         D. （1，2）

  2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（    ）

    A. 2或        B. 2        C.         D. 

  3. 圆C1：和圆C2：，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

[例题答案]

例一：

解：1. 把所给方程与双曲线的标准方程对照

    易知：2+m与m+1应同号即可。

    ∴选A

    易知：x2的系数为负，y2的系数为正

    ∴方程表示焦点在y轴上的双曲线

  4. 由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5

    、

例二：

解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，（AB>0）

例三：

分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为，结合图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

    解：在△ABC中，|BC|＝10

    ∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支

    又∵c＝5，a＝3，∴b＝4

    注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；

    （2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；

    （3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。

例四：

    解：（1）由椭圆方程知：

    （2）解法一：

    ∴双曲线的焦点必在x轴上

    解法二：

例五：

解：（1）设AB的方程为：y－1＝k（x－1）

    （1）另解法：

    当x1＝x2时，直线AB与双曲线没有交点。

    （2）假设过的直线l交双曲线于C（x3，y3），D（x4，y4）两点

例六：

  1. 答案：A

  2. 答案：A

  3. 分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。

    解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件知：

    即动点M与两定点C1、C2的距离的差是2

    根据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支（点M与C2的距离大于与C1的距离）

    这里

    设M（x，y）

    ∴轨迹方程为下载本文