重庆交通大学王家林
一、材料力学基本物理量之间的关系
教材中的方法：
1、静定问题
特点：（1）从受力分析出发，延续了理论力学静力学问题的分析思路。
（2）难点在于由变形求位移，需要针对具体问题，利用几何示意图来分析位移与变形的关系。
2、超静定问题
要根据变形协调条件补充额外的方程，补充方程的个数由超静定次数决定。
二、桁架变形与端部位移的关系
对于平面坐标系内的桁架杆件ij ，如图所示：
杆件的长度L 由两端点坐标确定：
22)()(i j i j y y x x L -+-=
将长度L 视为i x 、i y 、j x 、j y 的函数，即：
22)()(),,,(i j i j j j i i y y x x y x y x L L -+-==
则有：
222)()(i j i j y y x x L -+-=
上式两边求微分：
))((2))((22i j i j i j i j dy dy y y dx dx x x LdL --+--=
)(sin )(cos )()
()()
(i j i j i j i j i j i j dy dy dx dx dy dy L y y dx dx L x x dL -+-=--+--=αα
上式表明：桁架长度微小变化可由端点坐标的微小变化和杆件方向来计算。
在小位移情况下，类似地有：
)sin cos (sin cos )(sin )(cos ααααααi i j j i j i j v u v u v v u u L +-+=-+-=∆ 分析与结论：
（1）利用高等数学的微分方法进行分析，学生能够理解和接受。
（2）ααsin cos j j v u +表示了j 点位移沿杆件方向'x 的投影，ααsin cos i i v u +表示了i 点位移沿杆件方向'x 的投影。
（3）在小位移条件下，变形量是位移分量的线性关系，满足叠加原理。
（4）在小位移条件下，杆端位移沿杆件方向的投影等于该位移引起的杆件变形。 思考题：从几何角度说明)sin cos (sin cos ααααi i j j v u v u l +-+=∆
特点：对于任意方向的桁架杆件，包括空间情况，都可以很容易地写出杆件变形与杆端位移的关系。
三、应用方法及示例
以位移为基本未知量，通过杆端位移分析杆件的变形，进而将内力用位移表达，根据平衡条件建立方程，求解思路为：
1、静定结构
对于图示结构，设两杆材料和面积均相同， 由节点位移可得两杆的伸长量分别为：
ααcos sin 1u v l -=∆
ββsin cos 2v u l +=∆
轴力分别为：
)cos sin (1
111ααu v l EA l l EA N -=∆= )sin cos (2222ββv u l EA l l EA N +=∆=
由B 节点平衡条件，有： 0sin sin 21=-+P N N βα
0cos cos 21=+-βαN N
代入位移后可得：
P v u l EA u v l EA =++-βββαααsin )sin cos (sin )cos sin (2
1 0cos )sin cos (cos )cos sin (21=++--βββαααv u l EA u v l EA 解上面二元一次方程组，即可求得位移u 和v 。
2、超静定结构
对于图示结构，设各杆材料和面积均相同，
由节点位移可得两杆的伸长量分别为：
ααcos sin 1u v l -=∆
ββsin cos 2v u l +=∆
γγcos sin 3v u l +=∆
轴力分别为：
)cos sin (1
111ααu v l EA l l EA N -=∆= )sin cos (2
222ββv u l EA l l EA N +=∆= )cos sin (
3333γγv u l EA l l EA N +=∆=
由B 节点平衡条件，有：
0cos sin sin 321=-++P N N N γβα
0sin cos cos 321=++-γβαN N N
代入位移后可得：
P v u l EA v u l EA u v l EA =++++-γγγβββαααcos )cos sin (sin )sin cos (sin )cos sin (3
210sin )cos sin (cos )sin cos (cos )cos sin (3
21=++++--γγγβββαααv u l EA v u l EA u v l EA 解上面二元一次方程组，即可求得位移u 和v 。
分析与结论：
（1）以位移为基本未知量和出发点的求解方法，自动满足变形协调条件，对于静定和超静定问题，其求解步骤和方法没有典型差异。
（2）这种方法的求解路线恒定清楚，通用性、适应性强。学生掌握后，面对复杂问题就具有了一定的分析求解能力。
下图两结构中，AB为刚性梁，其余为弹性杆，求各弹性杆的内力。
静定结构超静定结构
分析：由于AB梁为刚性梁，整个结构的位移状态由AB梁的位移确定，因此可设AB梁上任一点（如A点）的水平和竖向位移及AB梁的转角为位移（可分别表示为u、v、ψ）。
因此求解步骤为：
（1）根据梁的刚体运动，利用小位移假设，将梁上各关键点的位移表示为u、v、ψ的线性函数；
（2）利用各点位移分析各桁架杆的变形，将各杆件变形表示为u、v、ψ的线性函数；
（3）利用内力与变形的关系，将各杆件内力表示为u、v、ψ的线性函数；
（4）对梁作受力分析，建立三个平衡方程，获得以u、v、ψ的线性方程组，并求解。下载本文
