函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
I．函数的定义
设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.
II．函数的性质
（1）奇偶性 设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.
（2）函数的增减性 设函数f(x)在区间D′上满足：对任意x1, x2∈D′，并且x1 III．函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期. 例题讲解 1．已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. C.152 D. 4．实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________. 5．已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________. 6．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4. 7．已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M，求证：M≥. 8．⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0 ⑵解方程： 9．设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值. 10．设f(x)＝x4－4x3＋x2－5x＋2，当x∈R时，求证：|f(x)|≥ 例题答案： 1．提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2．解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3．提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝ 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150 所有101个根的和为×101＝.选B 4．解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5．解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x－ ∴ x2－2x＋19＝99 即 x2－80＝2x 再平方得x4－160x2＋00＝76x2 即 x4－236x2＋00＝0 ∴ b＝－236，c＝00 b＋c＝61 6．证法一：由已知条件可得 △＝b2－4ac≥0 ① f⑴＝a＋b＋c＞1 ② f(0)＝c＞1 ③ 0＜－＜1 ④ b2≥4ac b＞1－a－c c＞1 b＜0(∵ a＞0) 于是－b≥2 所以a＋c－1＞－b≥2 ∴ ()2＞1 ∴ ＞1 于是＋1＞2 ∴ a＞4 证法二：设f(x)的两个根为x1，x2， 则f(x)＝a(x－x1)(x－x2) f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1 f(0)＝ax1x2＞1 由基本不等式 x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2 ∴ ≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1 ∴ a2＞16 ∴ a＞4 7．解：M＝|f(x)|max＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|} 而f⑴＝1＋a＋b f(－1)＝1－a＋b |f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2 ∴ M≥2＞ ⑵|－|＜1 M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|} ＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－＋b|，|－＋b|} ≥(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|) ≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)] ＝ ≥ 综上所述，原命题正确. 8．⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0 即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x) 构造函数f(x)＝x2001＋x 原方程等价于f(x＋8)＝f(－x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x＋8＝－x x＝－4为原方程的解 ⑵两边取以2为底的对数得 于是f(2x)＝f(x2＋1) 易证：f(x)世纪函数，且是R上的增函数， 所以：2x＝x2＋1 解得：x＝1 9．解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第四个解为m， 记 F(x)＝f(x)－x＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m) ∴ f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－m)＋x f⑷＝6(4－m)＋4 f(0)＝6m ∴ [f⑷＋f(0)]＝7 10．证明：配方得： f(x)＝x2(x－2)2＋(x－1)2－ ＝x2(x－2)2＋(x－1)2－1＋ ＝(x2－2x)2＋(x－1)2－1＋ ＝[(x－1)2－1]2＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4－2(x－1)2＋1＋(x－1)2－1＋ ＝(x－1)4＋(x－1)2＋ ≥下载本文
