中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。

关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质

正文:

（一）定义及说明

定义1.设是数域上线性空间上的线性变换，且，则称为上的幂等变换。

定义2.设是数域上的级方阵，若，则称为上的幂等矩阵。

因为数域上维线性空间的全部线性变换组成的集合对于线性变换的加法和数量乘法构成的上的线性空间与数域上的级方阵构成的线性空间同构，即。所以幂等变换对应于幂等矩阵,.

（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]

定理1.设是数域上线性空间的线性变换，且，则有 

（1）=,=

（2）

（3）若是的一个线性变换，则和都在之下不变的充要条件是

将幂等变换的定义加以推广：设是数域上线性空间上的线性变换，且，则称为上的幂等变换。

对于满足的线性变换有类似性质

定理2. 设是数域上线性空间的线性变换，且（），则有

（1）=，=

（2）

（3）若是的一个线性变换，则和都在之下不变的充要条件是

证明：已知

（1）：

因此

反之，，

由

因此

从而=

因此

反之，，有

因此

从而=

（2）：由（1），+

+

从而+

又设

由

又由=

即=

（3）：假设，都在之下不变

，由（2），存在唯一的，唯一的，使得

则由假设，，

，（由（1））

又，（由（1））

由的任意性，

若，

即，且由（1），使得

 ===0

即在之下保持不变

，由（1），

即

由（1），

即也在之下保持不变                                          证毕

定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。

（三）幂等变换的几个等价表示

定理3.设是数域上的线性空间的线性变换，则下列命题等价：

（1）

（2）的特征值只能是1和0，且,其中和分别是的属于1和0的特征子空间

（3）

证明：设，是的特征值，则有

（为的属于特征值的特征向量）

由知，

为非零向量

又

由定理1，

即

如果的特征值只能是1和0，且

,有

有

              =

由的任意性，得，即

设

由，

设，则

使得

从而

又

因此=

从而

如果，则=

=

从而

由的任意性，

即

（四）幂等矩阵的一些性质

性质1.设是级幂等矩阵，则对是可逆矩阵   

证明：由

因此可逆，且其逆矩阵为

性质2.设为幂等矩阵，则可以对角化

证明：由知是的化零多项式

又的特征值只能是1和0

的最小多项式为

且这三种情形下均无重根

故可对角化

性质3.设是幂等矩阵，则的秩等于的迹

证明：因为的特征值只能是1和0，设的秩为，则

与相似

设为的全部特征值，则

相似矩阵有相同的特征值，而的全部特征值为个1

即的秩等于的迹

性质4.设是秩为的幂等矩阵则，其中是秩为的矩阵

证明: 与相似，即存在可逆矩阵使得

令,则秩（C）=且

性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵

证明：为幂等矩阵，

又可逆，两边同时左（右）乘,得

即为单位矩阵

由于幂等矩阵的性质是在维条件下讨论的，所以对应幂等变换的性质也只是在有限维情况下成立，至于这些性质能否推广到无限维的情形，本文未予讨论。

参考文献：

[1]陈尔明.幂等变换的一个性质的推广[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版),2003.3

[2]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.9.

[3]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].张玉芬，李桂荣，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.

[4]张树青 ,王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示[J].烟台师范学院学报(自然科学版) ,2004 .20(1).

[5]钟太勇,袁力,彭先萌.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2005年6月第25卷第3期.

 [6]宿维军. 幂等矩阵和幂等变换[J].重庆文理学院学报，2008.4下载本文