题型一、向量在几何中的运算
1.(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 则
EB =
A ．3144
AB AC - B ．
1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2.（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为
A ．85-
B ．81
C ．41
D ．811
3．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是
A ．1=b
B ．⊥a b
C ．1⋅=a b
D ．()4ΒC -⊥a b
4．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB
A ．AD
B ． 21
C ． 2
1 D ． BC 5．（2013福建）四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==，则该四边形的面积为
A ．5
B ．52
C ．5
D ．10
6．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则
AE BD ⋅= ．
7．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若
·1AC BE =， 则AB 的长为 ．
8．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ．
9.（2019天津理14）在四边形ABCD ,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，
点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= .
10．(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅＝
A ．232a -
B ．234a -
C ．234a
D ．232
a 11．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则
A ．1433AD A
B A
C =-+ B ．1433
AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133
AD AB AC =- 12．（2015四川）设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点,M N
满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
13．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD
，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE λBC ，DF μDC .若1AE AF ，23CE CF ，则λμ
A ．12
B ．23
C ．56
D ．712
15．（2012天津）在△ABC 中，∠A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，
(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=
A ．13
B ．23
C ．43
D ．2 16．（2010湖南）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA C
E ==
则AD BE ⋅=______．
17.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，
AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC
的值是 .
18．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆
心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．22
C 5
D ．2
19．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中,已AB DC ∥,2AB =,1BC =,60ABC ∠=．
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE BC λ=，19DF DC λ
=，则AE AF ⋅的最小值为 ． 二、数量积运算
1．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
2．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3
<>=
m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为 A ．4 B ．–4 C ．94 D ．–94 3．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足223=
a ，且()(32)-⊥+a
b a b ，则a 与b 的夹角为
A ．4π
B ．2π
C ．34π
D ．π 4．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+10a b |6-a b ⋅=a b
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
5．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014
PB AB =，且对于边AB
上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则
A ．090=∠ABC
B ．090=∠BA
C C ．AC AB =
D ．BC AC =
6．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB =b ，则△OAB 的
面积等于
A B
C D
7．(2017山东)已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 ．
8．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___．
9．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60，(1)=+-c ta t b ，若
0⋅=b c ，则t =_____．
10．（2013山东）已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若
AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为_____．
11．(2014山东)在中ABC ，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=
时，ABC 的面积
为 ． 11．（2011江苏）已知1e ，2e 是夹角为π3
2的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ， 若0⋅=a b ，则k 的值为 ．
12．（2011新课标）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b
与向量k a -b 垂直，则k =_____________．
13．（2011安徽）已知向量,a b 满足()()+2⋅-=-6a b a b ，且1=a ，2=b ，则a
与b 的夹角为 .
三、坐标数量积运算（建系）
1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅=
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3 2．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3
<>=
m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为 A ．4 B ．–4 C ．94 D ．–94
3．（2016年全国III ）已知向量1(2BA = ,31(),2BC = 则ABC ∠= A ．30 B ．45 C ．60 D ．120
4．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为
6
π，则实数m =
A ．
B
C ．0
D ． 5．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是
A ．12(0,0),(1,2)==e e
B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e
C ．12(3,5),(6,10)==e e
D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e
6．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =
A ．92-
B ．0
C ．3
D ．152
7．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为
A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，
D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为
A B C ． D ． 9．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于
A ．
2 B ．12
C ．0
D ．－1 10．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =
（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=
A ． 14
B ．12
C ．1
D ．2
11．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=k
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12
12．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，
则λ= ．
13．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = .
14．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），
则m n - 的值为___．
15．(2014京)已知向量a 、b 满足1=a ，
(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__． 16．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的
夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．
17.（2010陕）向量a =（2，-1），b =（-1，m ），c =（-1,2），若（a +b ） ∥
c ，则m = ．
18．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==． 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为
A ．2116
B ．32
C ．2516
D ．3
E
D
C
B A
19．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是 A
1
B
1 C ．
2 D
．2 20．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是
A ．2-
B ．32-
C ．43
- D ．1- 9．（2015福建）已知AB AC ⊥， 1AB t =， AC t =，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB
AC
AP AB AC =+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于
A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
11．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥．若点P 的
坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
18．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，(2,0)B ，E ，F 是y 轴
上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．
19．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：
2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．
20．（2017天津）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，
AE AC AB λ=-()λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．
27．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．
26．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),A B C -动
点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是 ．
27．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则
c 的最大值为
A 1
B
C 1
D 2
28．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+．若12OP <，则OA 的取值范围是
A ．0,2⎛ ⎝⎦
B ．
22⎛ ⎝⎦ C ．
2⎛ ⎝ D ．2⎛ ⎝ 29．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则
c 的最大值为
A 1
B
C 1
D 2
四、模的运算
1．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A ．||||||⋅≤a b a b
B ．||||||||--≤a b a b
C ．22()||+=+a b a b
D ．22()()+-=-a b a b a b
2．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是
最小值为1
A ．若θ确定，则||a 唯一确定
B ．若θ确定，则||b 唯一确定
C ．若||a 确定，则θ唯一确定
D ．若||b 确定，则θ唯一确定
5．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量
A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a b
B ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b
C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a
D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b
6．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ．
7．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值
是 ，最大值是 ．
8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，
，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．
9．（2012安徽）若平面向量a ，b 满足：23-≤a b ；则⋅a b 的最小值是_____．
10．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o 45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b
11．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，
2e 的夹角为6
π，则||||x b 的最大值等于________． 12.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取
遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______.
