考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题1．sin 240=
A B ．1
2
C ．
D ．12
-
2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π
6
，则||a b += （
）
A
B ．2
C
D ．14
4．设函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（
）
A ．1
2
B ．2
C ．
2D ．1
5．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=
（
）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
6．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7
c π
=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（
）
A ．a b c
<< 7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（） A ．3 -B ．3 C ．3-或 1 3 D ．3或13 - 8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上 的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（） A ． 4 3 B ． 34 C ． 32 D ．1 二、多选题 9．已知向量()1,sin θ= a ，(cos b θ= ，则下列命题正确的是（ ） A ．存在θ，使得λa b = B ．当tan 2 θ=时，a 与b 垂直 C ．对任意θ，都有a b ≠r r D ．当a b ⋅ a 在 b 10．下列论述中正确的是（） A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于 3 π B ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠ ，则b c = C ．在四边形ABC D 中，()6,8AB DC == ，且AB AD AC AB AD AC += ，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r ，则O 是ABC 外心 11．已知函数π ()sin()(0,0,||) 2 f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为 2 π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线512 x π = 对称 B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2 - C ．若()6 5f π α-= ，则44sin cos αα-的值为45 -D ．要得到函数()f x 的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6 π 个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（） A ．sin A tan 3 B =，则A B C ．sin sin cos cos A B A B +>+D ．sin sin 1 A B +>三、填空题 13．已知α，β为锐角，4sin 5α= ，()cos 5 αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知 (),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是 _________________． 15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛ ⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，则()f x 的值域为______. 四、双空题 16．设tan θ＝2，则tan (4 π θ+ ＝________， sin cos sin cos θθ θθ -+＝________. 五、解答题 17．已知2= a ，b = ()() 239a b b a +⋅-= (1)求a 与b 的夹角θ； (2)在ABC 中，若AB a = ，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1 sin cos 2 αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值. (3)- 的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， ()sin ,2sin m A B = ，) sin n A = - ，且m n ⊥ . (1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛ ⎫= +>< ⎪⎝ ⎭的图像向右平移12π个单位长度得到 ()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称； ②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫= ++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣ ⎦；③函数()() 1cos sin 0f x x x πωωω⎛ ⎫=+-> ⎪⎝ ⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2 π .(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06 π θ<< ，且()3 10 f θ= ，求cos 2θ的值. 21．已知函数()2 cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈. (1)求()f x 的最小值()g a ； (2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围. 22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O = 的“相伴函数”为 ()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O = 称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴 向量”. (1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫ =--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，求()h x 的“相伴向量”； (2)记()0,2OM = 的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-， []0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围； (3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM 的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最 大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围. 参： 1．C 【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D 【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可 【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠= ，且6OA OC == ，故AOC ∠所对的劣弧长为23ππ⨯=故选：D 3．A 【分析】首先计算a r 和a b ⋅ ，再代入+= a b ，即可求得答案. 【详解】 (1,1)a = ，a == 又 = b a 与b 的夹角为56 π ∴cos 32θ⎛⎫ ⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b a b +=== a b 故选：A.4．C 【分析】根据图像求出()sin(2)3 f x x π =+，由12()()f x f x =得到126 x x π += ，代入即可求解. 【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2 f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为 236T πππω⎛⎫ ==-- ⎪⎝⎭ ，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06 π ϕ-+= ，3 π ϕ∴= ，()sin(2)3 f x x π =+． 如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322 x x πππ+++=， 126 x x π∴+= ，12()()sin()6332f x x f πππ∴+=== 故选：C ．5．A 【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248 AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 故选：A 6．B 【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可 【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭ ，又sin 7tan sin 77cos 7 c a π πππ== >=，故b a c <<故选：B 7．A 【分析】由10 sin 2cos 2 A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再 分类即可求解． 【详解】10sin 2cos 2 A A -= ()2 2222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12 A A A A A A A --+∴ =⇒=⇒ ++1tan 3A =或3-，10 sin 2cos 0sin 2cos 2 A A A A -= ⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-， 故选：A ．8．D 【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππ ωωω ≤<+，进而可求出ω的取值范围. 【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ 上 是增函数， 所以24323T T ππ≤⇒≥，又20 T πωω⎧ =⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππ ωω = +∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2π ω ，第二个交点的横坐标为22ππ ωω +，所以 2222ππππωωω ≤<+，解得15ω≤<，综上所述，3 12 ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD 【分析】利用向量平行得关系验证可判断A ；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅= 是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的 坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b 方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D. 【详解】解：对于A ，若λa b = ，则a b ∥， sin cos 0θθ-=， 即1 sin 22 θ= ，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-， 所以不存在θ，使得λa b = ，故A 错误； 对于B ，当tan 2 θ=- 时，则cos θ=θ， 则cos 0a b θθ⋅== ，所以a 与b 垂直，故B 正确； 对于C ，若a b ==r r 若a b =r r ，则221sin cos 2θθ+=+， 则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-， 所以22k θππ=+，所以,Z 2 k k π θπ= +∈，即存在,Z 2 k k π θπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误； 对于D ，cos in a b θθ⋅== ， 则223cos 2sin cos θθθθ+=+， 即()2222 cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ +=++， 化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=， 则2tan 20θ-θ+= ，解得tan θ=， 即22sin 2 cos θ=θ，所以2 1cos 3θ=，a 在b 方向上的投影向量的模长为a b b a b b b b ⋅⋅⋅ == D 正确.故选：BD.10．AC 【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a c a c a c ⋅= ，即可判断A ；根据数量积的定义即可判 断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D. 【详解】解：对于A ，() 212 a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅= ， 1c a b =-= ， 则1cos ,2 a c a c a c ⋅== ， 所以c 与a 的夹角为3 π ，故A 正确； 对于B ，若a b a c ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c = ，故B 错误； 对于C ，因为 ()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC == ， 又 AB AD AC AB AD AC += ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， 所以对角线BD = C 正确； 对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅ ，所以() 0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur ， 所以OA BC ⊥， 同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC. 11．BD 【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6 f x x π +，分别利用 正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解. 【详解】 函数π ()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条 对称轴之间的距离为 2 π，∴A = 1222 ππ ω⋅=， 2ω∴=，())f x x ϕ= +. 又因为()f x 的图象关于点(,0)12 π - 对称， 所以())0,126 f ππ ϕ-=-+=所以,6 k k Z π ϕπ- +=∈, 所以6,k k Z πϕπ= +∈.因为||2 ϕπ <，所以6πϕ=. 即())6 f x x π =+. 对选项5 A,( )012 f ππ==≠A 错误. 对选项B ，[,],2[,]66 6 62x x πππ ππ ∈-+ ∈- ，当()2,66x f x ππ +=-时取得最小值B 正确. 对选项C,()sin(2)cos 26 2 5f ππ ααα--= ，得到3cos 25 α=.因为442222 3sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25 ααααααα-=+-=-=-， 故C 错误. 对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移 6 π 个单位得到2())sin[ (2)]) 6 3 2 3 6 y x x x x π π π π π =- =- =+- + 的图象，故D 正确， 故选：BD .12．ACD 【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角 对于A ，sin 5A = ，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以， cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误； 对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()4 4 A B π π - >- ，化简得 sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44 A B ππ->-，得2A B π +>， 符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π +> ，所以，2 A B π>-， 所以，sin sin sin()sin 2 A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π +≥1>， 所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD 13．3 5 -##0.6 -【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，则()0,αβπ+∈， 又4sin 5α= ，()cos αβ+=- 所以3cos 5α=，()sin 5 αβ+=， 则()()()sin sin sin cos cos sin 5 βαβααβαα βα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以2 3cos 212sin 5ββ=-=-. 故答案为：3 5 -. 14．10635 λλ< ≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅< 且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：106 35 λλ< ≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[] 2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23 x π -的 范围，最后根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：函数2 ()2sin ()24 f x x x π=+- 1cos(2)22 x x π =-+ -sin 221 x x =-+ 1 2sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 213x π⎛ ⎫=-+ ⎪⎝⎭， 即()2sin 213f x x π⎛ ⎫ =- + ⎪⎝ ⎭ ， 又 42ππx ≤≤∴ 226 3 3 x π π π ≤- ≤ ∴1 sin(2),132x π ⎡⎤ -∈⎢⎥⎣⎦ ， ∴[]2sin(2)1,23 x π -∈， ∴()[]2,3f x ∈； 故答案为：[]2,316． －3 1 3 【分析】由两角和的公式计算出tan(4 π θ+ ，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθ θθ -+． 【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4 π θ+ ＝ tan tan 41tan tan 4 π θπ θ+-＝－3， sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13 . 故答案为：3-；13 ． 17．(1)56 π 【分析】（1）先求出a b ⋅ ，再带入公式计算即可； （2）根据题意得到() 2 2BC b a =- ，展开计算求解即可. （1） 因为()( )2 222 2335232529 a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯ = ， 所以3a b ⋅=- ，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56 πθ=. （2） 因为BC AC AB b a =-=- ，所以() 2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ， 所以BC = 18．(1)38 - (3)43 - 【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则 sin cos αα-= （ 3 = 得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2 αα+= ，所以()2 22 1sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4 αααααααα+=++=+= ，所以3 sin cos 8 αα=-； （2）解：因为0απ<<，3 sin cos 8 αα=-， 所以sin 0,cos 0α α><，所以 sin cos 2 αα-= ；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0 αα><， 1sin 1cos cos sin αα αα --= - -()() sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=- sin cos 1sin cos αααα+-=- 11238 -=-- 43 =-.19．(1)23 B π= 【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π = . （2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ，2, 333A πππ⎛⎫ +∈ ⎪⎝⎭ ，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1) 解：因为()sin ,2sin m A B = ，) sin n A = - ，且m n ⊥ . 所以0m n ⋅= 2sin sin 0A B A -=， 因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2 B =，因为B 为钝角，所以23 B π=.(2) 解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫ ⎛ ⎫+=+-=++ =+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝ ⎭， 由（1）知，0,3A π⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ ， 故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝. 所以cos cos A C + 20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤ -++∈⎢⎥⎣⎦ ； (2)3 10 【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛ ⎫+ ⎪⎝ ⎭，最 后根据两角差的余弦公式计算可得；(1) 解：若选条件①，由题意可知，2T π πω = =，2ω∴=， ∴1()sin(2)2 f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π 个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-， 又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+ ，Z k ∈， ||2 ϕπ <，∴6πϕ=， ∴1()sin(226 f x x π = +，所以函数的最小正周期T π=，令222,2 6 2 k x k k Z π π π ππ- +≤+ ≤ +∈，解得,3 6 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈， 所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤ -++∈⎢⎥⎣⎦ ； 若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛ ⎫= ++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫ = +- ⎪⎝⎭ 11cos 22222x x ωω⎛⎫= + ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛ ⎫= + ⎪⎝ ⎭又22T ππω = =，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π =+． 所以函数的最小正周期T π=，令222,2 6 2 k x k k Z π π π ππ- +≤+ ≤ +∈，解得,3 6 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈， 所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤ -++∈⎢⎥⎣⎦ ； 若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 6 4 6 6 4 f x x x x x x π ππ ωωωωω=+-=+- 211cos cos 224x x x ωω=+- 1 2cos 244 x x ωω= +111 2cos 2)sin(2)2226 x x x πωωω= +=+即()1 sin(2)2 6 f x x π ω=+， 又22T ππω = =，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+． 所以函数的最小正周期T π=，令222,2 6 2 k x k k Z π π π ππ- +≤+ ≤ +∈，解得,3 6 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈， 所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤ -++∈⎢⎥⎣⎦ ； (2) 解：因为1()sin(2)26f x x π= +且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛ ⎫=+= ⎪⎝⎭ ， 所以3sin 265πθ⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<， 所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以cos2cos 266θθππ⎡⎤ ⎛ ⎫=+- ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣ ⎦ 43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛ =⎫+++=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23, 03,20 44 2a a a g a a a a ⎧ ->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪ <-⎪⎩ ，(2)3 a ≥【分析】（1）化简函数()2 2 sin 324 a a f x x a ⎛ ⎫=+ -- ⎝ ⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值； （2）由()0f x =，可得2 sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2 sin 3 1sin x a x +=-，令sin [0,1)t x =∈， 则231t a t +=-，利用单调性，即可求解. (1) 由题意，函数()2 22 sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛ ⎫=-+-=+-+- ⎪⎝ ⎭， 因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02 a - 时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤- ≤时，即20a -≤≤时，则sin 2 a x =-时，所以()f x 取得最小值()2 34 a g a a =-+-； 当12 a ->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =． 综上可得，()23, 03,20442a a a g a a a a ⎧ ->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪ <-⎪⎩ ，． (2) ∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立． 故有sin 1x ≠，2sin 3 1sin x a x +=-， 令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()23 0,11+=∈-t F t t t ，()()() () 2 311--+'= -t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增， 所以()3≥F t ，故3a ≥． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22． (1)12OM ⎛=- ⎝⎭ (2)[)1,3(3)3,4 ⎛⎫ -∞- ⎪⎝ ⎭ 【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()3 6 h x x x =--+可化为( )1sin 2 h x x x =-+进而根据题 意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3 ）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2 x k k π πϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中 0tan a x b = ，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围． （1） 解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()h x 的“相伴向量” 为12OM ⎛=- ⎝⎭ . （2） 解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅= . 4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭ =+-=⎨ ⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 可求得()g x 在03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，单调递减 且5(0)1,3()33(2,),,1 33g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫ ===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点 13 k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[) 1,3 答案第15页，共15 页（3） 解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++ 其中cos sin tan b a ϕϕϕ===R x ∈ ∴当2,Z 2x k k π ϕπ+=+∈即022x k π ϕπ=-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕ πϕϕϕ=-=-=- -令tan b m a ϕ==，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得113m <<0222tan 211m x m m m =-=--，因为1y m m =-在1(,1)3m ∈上单调递增，所以0222tan 211m x m m m =- =--在1(,1)3m ∈上单调递减，从而03tan 2,4x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝ ⎭下载本文
