1.整数加法：  

（1）把两个数合并成一个数的运算叫做加法。  

（2）在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。 

（3）加数+加数=和，一个加数=和-另一个加数。 

2.整数减法：  

（1）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。  

（2）在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。

 （3）加法和减法互为逆运算。

 3.整数乘法： 

（1）求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 

（2）在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 

（3）在乘法里，0和任何数相乘都得0。 

（4）1和任何数相乘都的任何数。  

（5）一个因数×一个因数=积；一个因数=积÷另一个因数。

 4.整数除法：  

（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。  

（2）在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。 

（3）乘法和除法互为逆运算。  

（4）在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。  

（5）被除数÷除数=商，除数=被除数÷商被除数=商×除数。 

5.整数加法计算法则：

   相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一(进1要在竖式上写1，再计算)  

6.整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十（要在前一位的头上点“.”），和本位上的数合并在一起，再减。  

7.整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。

8.整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 

9.运算顺序：  

（1）第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 

（2）第一级运算：乘法和除法叫做第二级运算  

（3）小数、整数：小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。  

（4）没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。  

（5）有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

10.四则运算：1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 

 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。

 3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 

 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。  

11.关于“0”的运算 

1、“0”不能做除数               字母表示：a÷0错误

2、一个数加上0还得原数         字母表示：a＋0= a   

3、一个数减去0还得原数；       字母表示：a－0= a 

4、被减数等于减数，差是0；      字母表示：a－a = 0 

5、一个数和0相乘，仍得0；      字母表示：a×0= 0  

6、0除以任何非0的数，还得0；   字母表示：0÷a（a≠0）= 0

 7、0÷0得不到固定的商，所以0不能做除数.   

二、观察物体

 1、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。  

2、正面、侧面、后面都是相对的，它是随着观察角度的变化而变化。通过观察、想象、猜测，培养空间想象力和思维能力，能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。 3、观察物体，从实物观察到对立体图形的观察有一个体验、认识、提高的过程，建议同学们先多观察物体，多画观察到的图形，有意识的训练想象能力，逐渐就会观察立体图形了 

4、观察物体，先要确定观察的方向（常选择上面、正面、左侧面、右侧面），再确定观察的形状，并把它画下来

                    三、运算定律

1.加法交换律：  两个加数交换位置，和不变。 字母公式：a+b+c=（b+a）+c 

2.加法结合律：  加法结合律的概念为：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母公式：a+b+c=a+（b+c）  

3.减法的性质：①一个数连续减去几个数就等于减去这几个数的和。a-b-c=a-(b +c) 

 ②一个数减去几个数的和就等于连续减去这几个数。a-(b +c)= a-b-c  

一个数减去两个数的差。a-(b -c)= a-b+c，同样的a-b+c=a-(b -c) 

4.乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。 字母公式：a×b=b×a

5.乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 字母公式：a×b×c=a×（b×c） 

6.乘法分配律：乘法分配律的概念为：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 字母公式：（a+b）×c=a×c+b×c  

7.除法的性质：①一个数连续除以几个数就等于除以这几个数的积。a÷b÷c=a÷(b×c)               ②一个数除以几个数的积就等于连续除以这几个数。a÷(b×c)= a÷b÷c 

8.常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100     125×8＝1000  

9.遇到带括号的脱式运算，当括号前面是“－”或“÷”时，打开括号要改变括号里面的符号；当括号前面是“＋”或“×”时，打开括号括号里面的符号不改变。

加法交换律简算例子  加法结合律简算例子   乘法交换律简算例子  乘法结合律简算例子 

75+98+25          488+40+60              25×56×4             99×125×8  =75+25+98         =488+(40+60)          =25×4×56          =99×(125×8)                 =100+98             =488+100               =100×56                =99×1000  

含加法交换律与结合律  含乘法交换律与结合律   数字换减法式    数字换加法式   65+28+35+72          25×125×4×8          99×26                       45×102  (65+35)+(28+72)       = (25×4)×(125×8)     =(100-1)×26      =45×(100+2) =100+100                       =100×1000      =100×1000        =100×26-1×26   =45×100+45×2                  =100000               =100000                  =2600—26        =4500+90             

乘法分配律提取式   乘法分配律提取式   乘法分配律(添项)    乘法分配律(添项)         135×12-135×2     1380÷15-375÷15   99×256+256         35×8+35×3-35             =135×(12-2)       =(1380-275)÷15       =(99+1)×256          =35×8+35×3-35×1                           =135×10          =1105÷15                                    = 35×(8+3-1)

减法的性质简算例子  减法的性质简算例子  减法的性质简算例子     数字换乘法式   528-65-35            528--128          528-(150+128)                 56×125

 =528-(65+35)        =528-128-          =528-128-150              =7×8×125 

 =528-100           =400-              =400-150                 =7×(8×125)                 

除法的性质简算例子  除法的性质简算例子  除法的性质简算例子     数字换乘法式 

3200÷25÷4        3200÷25÷32        3200÷(25×32)          33333×33333 

=3200÷(25×4)     =3200÷32÷25       =3200÷32÷25         =11111×3×33333

 =3200÷100        =100÷2.5            =1000÷25            =11111×99999  

                                                             =11111×(100000-1) 

同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家       

256-58+44     250÷8×4        588+162-88    2900×25÷29   

=256+44-58    =250×4÷8      =588-88+162    =2900÷29×25 

=300-8        =1000÷8        =500+162      =100×25  

                 四、小数的意义和性质

1、小数的产生：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。 当测量物体时往往会得到的不是整数的数，古人就发明了小数来补充整数，小数是十进制分数的一种特殊表现形式。 

2、分母是10、100、1000„„的分数可以用小数来表示。 

3、小数是十进制分数的另一种表现形式。  

4、小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一„„分别写作0.1、0.01、0.001„„ 

5、每相邻两个计数单位间的进率是10。 

6、小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。  

7、小数的数位顺序表    

（1）6．378的计数单位是0．001。（最低位的计数单位是整个数的计数单位） 

（2）6．378中有6个一，3个十分之一（0．1），7个百分之一（0．01），  8个千分之一（0．001）。  （3）6．378中有（6378）个千分之一（0．001）。  

（4）9．426中的4表示4个十分之一（0．1）[4在十分位] 

8、小数的读法：先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分。读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。  

9、小数的写法：先写整数部分（按照原来的写法），再写小数点，再小数部分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。 

10、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，但计数单位变了。（注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。作用可以化简小数等）。  

11、小数的大小比较：（1） 先比较整数部分；（2）如果整数部分相同，就比较十分位；（3）十分位相同，就比较百分位；（4）以此类推，直到比较出大小。 

12、小数点的移动： 

（1） 小数点向右移：移动一位，小数就扩大到原数的10倍； 

                    移动两位，小数就扩大到原数的100倍；  

                    移动三位，小数就扩大到原数的1000倍；…… 

（2） 小数点向左移：移动一位，小数就缩小10倍，即小数就缩小到原数的1/10； 

                    移动两位，小数就缩小100倍，即小数就缩小到原数的1/100； 

                    移动三位，小数就缩小1000倍，即小数就缩小到原数的1/1000；

13、小数的近似数（用“四舍五入”的方法）：   

（1）保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进一。如果小于五则舍去。   

（2）保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略， 这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。   

（3）保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进一。   

（4）为了读写的方便，常常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左移4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移8位，即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可。  

五、三角形

1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。 

2、三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。（重点：三角形高的画法）(直角三角板、铅笔作图，画高的时候不出头，使直角三角板一条直角边与底重合，另一条直角边靠近底边相对应的顶点，直至与顶点重合，最后用虚线画出高) 

3、三角形的特性：

（1）物理特性：稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。 

（2）边的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边。

     判断是否能够围城三角形，选取最短的两条线段的和与第三边比较，如果大于第三边则可以围成三角形（一定要大于，小于或者等于都不可以，特别注意三条线段相等的话一定可以围成三角形，而且是等边三角形）

4、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。 

5、三角形的分类：  

按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。  

按照边长短来分：不等边三角形、等腰三角形（两条腰相等，两个底角相等，等边三角形也叫正三角形是等腰三角形，只不过是特殊的等腰三角形）、等边三角形（三边相等，每个角是60度）

6、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形（三个锐角）。

7、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（一个直角、两个锐角）。 

8、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形（一个钝角、两个锐角）。  

9、每个三角形都至少有2个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

10、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。  

11、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。 

12、等边三角形是等腰三角形（它是特殊的等腰三角形）

13、三角形的内角和等于180度。四边形的内角和是360°

任意n边形内角和=180°×(n－2)   n表示边数

14、图形的拼组：（1）2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。 

（2）至少用3个相同的等边三角形才能拼成一个梯形  

（3）用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。    

（4）用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形。一个大的等腰的直角的三角形。  

15、三角形为什么具有稳定性：任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接 因为第三条边不可伸缩或弯折 所以两端点距离固定 所以这两条边的夹角固定 因为这两条边是任取的  所以三角形三个角都固定，进而将三角形固定 所以三角形有稳定性。

16、（1） 有两个锐角的三角形一定是锐角三角形（×）  每个三角形都至少有两个锐角

（2）等腰三角形一定是锐角三角形（×）  还可以是直角三角形、钝角三角形

（3）等边三角形一定是等腰三角形，等边三角形一定是锐角三角形（√）

（4）由三条线段组成的图形就是三角形（×） 必须是每相邻连个线段的端点相连

（5）任何两个三角形都可以拼成一个四边形（×） 这两个三角形至少有一条边相等

（6）两个相同的等腰直角三角形一定可以拼成一个正方形（×）必须是等腰直角三角形

（7）一个等腰三角形的顶角是60度，底角也是60度（√）  它就是等边三角形

（8）两个相同的直角三角形可以拼成一个等腰三角形（√）

（9）锐角三角形中任意两个内角之和大于直角（90度）（√）

（10）钝角三角形中，两个锐角之和小于直角（90度）（√）

（11）直角三角形中，两个锐角之和等于直角（90度）（√）

（12）最大的角是锐角的三角形一定是锐角三角形（√）

                  六 小数的加法和减法

1、小数加、减法的的意义：小数加法的意义与整数加法的意义相同，是把两个数合并成一个数的运算。   小数减法的意义与整数减法的意义相同，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 

2、小数加、减法的竖式计算：  

列竖式时要注意：要把两个小数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）再计算。数位上没有数必须添“0”后再进行计算。计算时先看清题目是“+”还是“-”，从右向左算起，哪位相加满十要向前一位进1，不够减就从前一位退一当十再减（一定记得在前一位头上点上小点点），最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。得数的小数部分末尾有0一般要把0去掉。

3、小数加、减法脱式运算时，能简便的进行简便运算，但一定要注意符号！同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家。不能简便运算的请按照有括号先算括号里面的，没有括号就按先算乘除、再算加减的顺序从左向右计算。

4、整数加法的交换律、结合律对小数加法同样适用。

七 图形的运动(二)

 一、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图 形， 这条直线叫做对称轴。  

（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形„„  等腰三角形有1条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 

（2）圆有无数条对称轴。  （3）对称点到对称轴的距离相等。  

等腰三角形       等腰梯形              正五边形              圆形

 只有1条对称轴    只有1条对称轴         5条对称轴         无数条对称轴

正六边形6条对称轴

等边三角形3条对称轴

正方形 4条对称轴

长方形 2条对称轴

（3）画对称轴：①等腰三角形或者等边三角形：先找到底边的中间点（用尺子量底边有多长，然后找到中间的点，连接顶点和中间点，这条线也是等腰三角形底边上的高，但注意等边三角形有三条，等腰三角形只有一条）

②长方形或者正方形：找到相对的两条长和宽，连接他们的中间点（同样拿尺子量，但要注意正方形还要分别连接它对应的四个顶点，所以有4条对称轴，长方形只有两条）

③梯形：连接上底和下底的中间点，这条对称轴也是垂直于上底和下底的

④正五边形和正六边形：正五边形还是找出每条边上的中间点，把与它对应的顶点连起来就是它的一条对称轴，总共有五条对称轴，正六边形先连接对应的六个顶点，就有三条对称轴，再找出每条边的中间点，对应连接，又有三条对称轴，总共有六条对称轴

⑤画对称轴一定要注意只能画成虚线

⑥画对称轴必须出头，不能画在图形的里面（画在图形里面叫线段，但对称轴是一条直线不是线段）

二、轴对称图形的画法   

1、轴对称图形的性质(特征)：  

（1）对称轴两边的图形一定完全相同 

（2）对称点也关于对称轴对称 

（3）对称点的连线垂直于对称轴 

（4）对称点到对称轴的距离相等

2、轴对称图形的画法：  

（1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置 

（2）找出已知图形的关键点  

（3）依次过每个点作垂直于对称轴的虚线（根据性质3） 

（4）在对称轴另一侧确定各对称点位置  （根据性质4） 

（5）标明各点对应名称，顺次连接各对称点得到轴对称图形 

三、确定轴对称图形的对称轴  

沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是图形的对称轴 

4、图形的平移  

1、平移不改变图形的大小和形状 ，只是位置改变了

2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。                  

平移的方向一般为：水平方向、垂直方向两种。                  

平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格） 

3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。  

4、图形平移的步骤：  

（1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。 

（2）找出原图形的各关键点。  

（3）根据题目要求将各个点依次平移。 

（4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称   

                八 平均数与条形统计图

1.平均数是通过把多的部分移给少的部分，使各部分都相等而得到的数，所以平均数在最大数与最小数之间  

2、平均数=总数÷总份数  

3、.复式条形统计图：用两种以上的长方形直条表示不同数量的条形统计图。    

复式条形统计图要画两种以上的直条，为了区别可以用不同的颜色或者线条来表示。

4、与复式统计表相比，复式条形统计图更便于比较几组数据的大小，提供的信息更多，使用起来更加方便。   

5、复式条形统计图优点：可以直观的看出不同项目数据是多少，能形象的比较不同的数据。 6、复式条形统计图缺点：需要自己计算总数，不大方便。 

7、复式条形统计图的制作步骤：

①根据统计资料整理数据  

②画出纵轴和横轴（纵轴高度的确定：要确定一个长度来表示一定的数量。                   横轴长度的确定：要根据纸的大小、字数的多少来确定） 

③画直条或条形的宽度要一致，条形之间的间隔要相等。靠在一起的两个条形要紧挨着

④不同的直条做不同的标记（如颜色不同或在其中一组画上条纹）

⑤写上总标题、数量单位，数轴一般标数字，横轴一般标类别

⑥画条形统计图时要注意看好数轴上的数字，画好后在每个条形上方标出数字，最后把图例画在右上角，两个图例竖着排列

                 九 数学广角——鸡兔同笼

                    九、鸡兔同笼

1、知道两种东西，一大一小小或者一多一少，告诉你总共有多少，求分别有多少

2、鸡兔同笼公式：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。题目里最大的数字就是总脚数，告诉你总共有多少的就是总头数，剩下两个数字里较小的那个数是每只鸡脚数，较大的那个数是每只兔脚数

3、如果遇到加分、减分题目，建议画表解决，不管数字有多大，都用列表法解决！

4、折中列表法：例如8个头，则选取8    0    4  看哪组更靠近题目告诉你的总脚数

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