一．利用导数的几何意义求切线
1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（ ）
A ．y ＝3x －4
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y ＝－4x ＋3
D ．y ＝4x －5
2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
3．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）
A ．1
B ．
12 C ．12
- D ．1- 5．已知曲线3lnx 4x y 2
-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ． 2 C ．1 D ．12
6．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( )
A ．3,3
B ．3，－1
C ．－1,3
D ．－1，－1
7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
8．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二．导数的计算
1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )
A ．x B.1x
C ．ln x ＋1
D ．ln x ＋x
2．函数y ＝cos x x
的导数是( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 2
3． y ＝e x 2－1的导数是 ( )
A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1
B ．y ′＝2x e x 2－1 [
C ．y ′＝(x 2－1)e x
D ．y ′＝e x 2－1 4． 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为 ( )
A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x
B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x
C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x
D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x
5．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )
A ．0
B ．－4
C ．－2
D ．2
6．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )<0的解集为________．
7．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12
，则a ＝________，b ＝________. 8．直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.
(1)求直线l 1，l 2的方程；
(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．
三.导数的应用（一）
1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( )
A ．b 2－4ac >0
B ．b >0，c >0
C ．b ＝0，c >0
D ．b 2－3ac <0
2．)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时,2'
(1)()2()0x f x xf x ++<，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x f 的解集是（ ）
A ．),1(+∞
B ．),1()0,1(+∞⋃-
C ．)1,(--∞
D ．)1,0()1,(⋃--∞
3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设
a ＝f (0)，
b ＝f (12
)，c ＝f (3)，则( ) A ．a 4．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，y 的取值范围是( )
A ．
B
C
D 5．已知函数2()ln f x x a x =+．
（1）当2a e =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()()2g x f x x =-在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围．
一．利用导数的几何意义求切线
1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（ B ）
A ．y ＝3x －4
B ．y ＝－3x ＋2
C ．y ＝－4x ＋3
D ．y ＝4x －5
2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ A ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
3．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ B ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ A ）
A ．1
B ．
12 C ．12
- D ．1- 5．已知曲线3lnx 4x y 2
-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ A ） A ．3 B ． 2 C ．1 D ．12
6．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( B )
A ．3,3
B ．3，－1
C ．－1,3
D ．－1，－1
7．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
答案 A
解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.
8．已知曲线S ：y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 D
解析 显然P 不在S 上，设切点为(x 0，y 0)，
由y ′＝3－3x 2，得y ′|x ＝x 0＝3－3x 20.
切线方程为y －(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(x －x 0)．
∵P (2,2)在切线上，
∴2－(3x 0－x 30)＝(3－3x 20)(2－x 0)，
即x 30－3x 20＋2＝0.
∴(x 0－1)(x 20－2x 0－2)＝0.
由x 0－1＝0，得x 0＝1.
由x 20－2x 0－2＝0，得x 0＝1±3.
∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．
二．导数的计算
1．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )
A ．x B.1x
C ．ln x ＋1
D ．ln x ＋x
答案 C
解析 y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋x ·1x
＝ln x ＋1. 2．函数y ＝cos x x
的导数是( ) A ．－sin x x 2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2 D ．－x cos x ＋cos x x 2
答案 C
解析 y ′＝(cos x x )′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2 ＝
－x sin x －cos x x 2.
3． y ＝e x 2－1的导数是 ( )
A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1
B ．y ′＝2x e x 2－1[来源:学*科*网]
C ．y ′＝(x 2－1)e x
D ．y ′＝e x 2－1 4． 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为 ( )
A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x
B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x
C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x
D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x
5．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )
A ．0
B ．－4
C ．－2
D ．2
答案 B
解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，
令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.
∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.
6．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )<0的解集为________．
答案 (－1,3)
7．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12
，则a ＝________，b ＝________. 答案 0 －1
解析 f ′(x )＝2ax －b cos x ，
∴f ′(0)＝－b ＝1.
f ′(π3)＝2a ·π3－b ·cos π3＝12
， 得a ＝0，b ＝－1.
8．直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.
(1)求直线l 1，l 2的方程；
(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．
分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的
导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12
a ·h 即可完成． 解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (
b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为
y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.
因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23
. 所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229
. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16y ＝－52.
所以直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)，l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，(－223
，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512
. 三.导数的应用
5．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( D )
A ．b 2－4ac >0
B ．b >0，c >0
C ．b ＝0，c >0
D ．b 2－3ac <0
8．)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时,2'
(1)()2()0x f x xf x ++<，且0)1(=-f ，则不等式0)(>x f 的解集是（ D ）
B ．),1()0,1(+∞⋃-
C ．)1,(--∞
D ．)1,0()1,(⋃--∞
9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设
a ＝f (0)，
b ＝f (12
)，c ＝f (3)，则(B ) A ．a 10．(综合)已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则
当1y ≥时，
1
y x + 的取值范围是( A )
A ．
B
C
D 5．已知函数2()ln f x x a x =+．
（1）当2a e =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()()2g x f x x =-在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围．
5．（1）单调增区间为
()+∞,e 单调减区间为()e ,0 （2）24-≤a
