[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．(2014年北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰或直角三角形，选D.
答案：D
2．(2014年长沙模拟)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝.
答案：A
3．(2013年高考湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
解析：由已知及正弦定理得2sin AsinB＝sin B，因为sin B>0，所以sin A＝.又A∈，所以A＝.
答案：D
4．(2014年铁岭六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则B的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，又a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，得sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，在△ABC中，0 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于( ) A. B. C．1 D. 解析：∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，∴sin B＝.∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝acsin B＝×3×＝，故选A. 答案：A 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B的值为( ) A. B. C. D. 解析：因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得，b2＝ac，又c＝2a，故cos B＝＝＝，故选B. 答案：B 二、填空题 7．(2014年长春模拟)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________． 解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B＝6cos Asin C可化为b＝6··c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)， 又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3. 答案：3 8．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________. 解析：△ABM中，由正弦定理＝＝，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝. 答案： 9．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________. 解析：由3sin A＝5sin B可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，可得cos C＝＝＝－，故C＝. 答案： 三、解答题 10．(2014年太原模拟)在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且a＝2csin A. (1)求角C的度数； (2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值． 解析：(1)由正弦定理得： sin A＝2sin Csin A， ∵A，C是锐角，∴sin C＝，∴C＝60°. (2)由已知得，△ABC的面积S＝absin C＝， ∴ab＝6. 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， ∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5. 11．(2014年荆州模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，·＝，求△ABC的面积． 解析：(1)f(x)＝2sin xcos x＋ (2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin＝1， ∵0 又·＝||·||cos A＝， ∴||·||＝2. ∴△ABC的面积S＝||·||sin A＝×2×＝. 12．(能力提升)(2014年南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解析：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－ sin Acos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0， 因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝，又0 因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋. 又0 1．(2014年郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c， (1)求B； (2)若△ABC的面积为，求b的取值范围． 解析：(1)由正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C， ∵在△ABC中，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B， ∵sin C(2cos B－1)＝0，又0 ∴cos B＝，注意到0 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥ac＝4， 当且仅当 a＝c＝2时，“＝”成立， ∴b的取值范围为b≥2. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n. (1)求角A的大小； (2)若a＝4，求△ABC面积的最大值 解析：(1)因为m∥n，所以acos B－(2c－b)cos A＝0，由正弦定理得sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0， 所以sin Acos B－2sin Ccos A＋sin Bcos A＝0， 即sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A， 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A. 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin Ccos A， 因为0 所以cos A＝，又0 所以16＝b2＋c2－bc≥bc，所以bc≤16， 当且仅当b＝c＝4时，上式取“＝”， 所以△ABC面积为S＝bcsin A≤4， 所以△ABC面积的最大值为4. ======*以上是由明师教育编辑整理======下载本文
