数  学

一、选择题

1.已知集合，则(   )

A.     B.     C.     D. 

2.已知，若（为虚数单位）是实数，则=(   )

A.1    B.-1    C.2    D.-2

3.若实数满足约束条件，则的取值范围是(   )

A.    B.    C.    D.

4.函 数在区间的图像大致为(   )

A.     B. 

C.     D. 

5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位： ）是(   )

A.    B.    C. 3    D. 6

6.已知空间中不过同一点的三条直线则“在同一平面” 是“两两相交”的(   )

A.充分不必要条件        B.必要不充分条件    

C.充分必要条件        D.既不充分也不必要条件

7.已知等差数列的前项的和，公差，.记下列等式不可能成立的是(   )

A.    B.    C. D    . 

8.已知点, ,.设点满足，且为函数的图像上的点，则(   )

A.    B.     C.     D.  

9.已知，若在上恒成立，则(   )

A.    B.    C.    D. 

10.设集合S,T，,,S,T中至少有两个元素，且S,T满足：

①对于任意，若，都有；

②对于任意，若，则，下列命题正确的是(   )

A.若有4个元素，则有7个元素    B.若有4个元素，则有6个元素

C.若有3个元素，则有4个元素    D.若有3个元素，则有5个元素

二、填空题

11.已知数列满足，则______.

12.设，则=_______；_______.

13.已知=2，则=______； =______.

14.已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为______.

15.设直线，圆，，若直线与,都相切,则=______;=______.

16.一个盒子里有 1个红 1个绿 2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则          ；             .

17.设，为单位向量，满足，， ，设的夹角为，则的最小值为          .

三、解答题

18.在锐角中，角的对边分别为，且.

（Ⅰ）求角

（Ⅱ）求的取值范围。

19.如图，三棱台中，面面，， 。

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求与面所成角的正弦值。

20.已知中，.

（I）若数列为等比数列，且公比，且，求与的通项公式；

（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：

21.如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（不同于）.

（I）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点；求的最大值.

22.已知函数 ，其中 为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数 在 上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数 在上的零点，证明:

（i）

（ⅱ）.

参

1.答案：B

解析：

2.答案：C

解析：

3.答案：B

解析：

4.答案：A

解析：

5.答案：A

解析：

6.答案：B

解析：

7.答案：D

解析：

8.答案：D

解析：

9.答案：C

解析：

10.答案：A

解析：

11.答案：10

解析：

12.答案：80；122

解析：

13.答案：；

解析： 

14.答案：1

解析： 

15.答案：；

解析： 

16.答案：；1

解析： 

17.答案：

解析： 

18.答案：（1）由正弦定理得：

又

又

（2）

由得：

又 

.

解析：

19.答案：（1）证明：作于，则

（2）解：作于，由知

设所求角为，则为与面的夹角

由得

解析： 

20.答案：（1）是等比数列

是以1为首项以4为公比的等比数列

累加

当符合上式.

（2）

得证

解析： 

21.答案：（1）由抛物线焦点公式得.

（2）设

，，

在抛物线上，即①

，

，②

，即

，

解析： 

22.答案：（1）证明：.当时，，在上↑，又在上有唯一零点，在上无零点，即在上有唯一零点.

（2）（Ⅰ）一方面，令，，，当时，故在上↑，即时有，即.于是，由.，另一方面，若，

若，则，，，

在上↓，在上↑，当时，

在↓，，即时，

. 

解析： 下载本文